¿Por qué usamos un filtro de segundo orden para construir un filtro de orden superior?

(1) Hasta ahora, todas las respuestas estaban relacionadas con una estrategia de diseño de filtros que se denomina "diseño en cascada". Este método utiliza tablas de diseño de diseño de filtros para realizar filtros de orden superior conectando en cascada las etapas activas de primer y segundo orden.

(2) Sin embargo, existe otra estrategia llamada "síntesis directa". Con este enfoque, puede transferir una red de escalera de referencia RLC pasiva de cualquier orden a un circuito activo (simulación L activa, técnica FDNR). Para la estructura de referencia pasiva, los valores de las partes tabulados están disponibles.

(3) Otro método de síntesis de filtro directo se basa en topologías de retroalimentación múltiple para etapas activas básicas como integradores (estructura Leapfrog, Follow-the-Leader FLF, PRB de bloque de resonador primario).

Comentario 1: Se demostró que todas las realizaciones basadas en esos "métodos directos" tienen cifras de sensibilidad pasiva mucho mejores que los "filtros en cascada" (la sensibilidad pasiva es la sensibilidad de todo el circuito del filtro según las tolerancias de las partes pasivas R y C)

Comentario 2: En cuanto a la oscilación: No, no hay un problema específico para los filtros de orden superior. Esto es cierto tanto para el enfoque en cascada como para la síntesis de filtro directo.

La tendencia a la oscilación no depende del orden del filtro sino únicamente de la ubicación del polo. Para filtros de alto Q, los polos deben colocarse bastante cerca del eje Im del plano s. En este caso, podría haber un problema si, debido a influencias no deseadas (tolerancias de las piezas), uno de los pares de polos se desplaza hacia el eje Im.

Sin embargo, cabe señalar que la ubicación de los polos de los diversos bloques de segundo orden también depende del orden del filtro. Por ejemplo, para un paso bajo de Chebyshev de décimo orden (ondulación de 1 dB), el polo-Q máximo es Q = 22,3. Esto es equivalente a un ángulo alfa = 88,7 grados (el eje de la imagen está a 90 grados). El ángulo alfa está entre el eje real y el vector a la ubicación del polo en la parte izquierda del plano s.

Tiene una atenuación más alta con una llave Sallen que con un filtro normal de 1 polo. A veces, la señal en el paso de banda y el ruido están demasiado cerca y se necesita una tasa de atenuación alta para aislarlos. (como si tuviera una señal de 100 Hz y quisiera enterrar 60 Hz de sus datos, ya que están espaciados muy juntos si tuviera un ruido de 40 dB 60 Hz, necesitaría un filtro realmente alto para aislarlo de su señal de 100 Hz). Debido a que hay dos polos, también puede construir filtros de paso de banda y filtros de muesca.

Sí, hay un problema con la oscilación, especialmente cuando los polos del filtro están muy juntos. En ese caso, será mejor espaciar ligeramente los polos y usar valores de componentes que proporcionen una mejor respuesta del filtro .

La respuesta es que no estamos construyendo los filtros a partir de circuitos de segundo orden. Los estamos construyendo utilizando circuitos activos que simulan inductores. Da la casualidad de que en todos estos circuitos podemos incorporar fácilmente un elemento capacitivo también, por lo que pueden convertirse en bloques de segundo orden que generalmente tienen características de filtrado superiores.

En el mundo real, los inductores son molestos de usar. Son grandes, propensos a captar interferencias, mecánicamente delicados, difíciles de hacer precisos y relativamente caros. En comparación, los capacitores son baratos, estables y robustos. Al principio de la historia de la electrónica analógica, los diseñadores crearon circuitos que simularían una impedancia inductiva usando solo capacitores. Todas las diversas topologías de filtros activos son fundamentalmente convertidores de impedancia negativa. Incluso puede adaptarlos para convertir un inductor en un condensador si lo desea.

Todos los sistemas de filtro LTI están formados por impedancias R, L y C. Todo lo que estamos haciendo con los filtros activos es sustituir los L por C convertidos activamente, y las consideraciones prácticas facilitan hacer esto con una impedancia C adjunta, así que lo hacemos.

Una razón bastante fundamental, no mencionada hasta ahora, son las matemáticas subyacentes. Puede descomponer cualquier polinomio en un producto de ecuaciones cuadráticas (y una ecuación lineal para polinomios de orden impar).

Solo tengo vagos recuerdos de hacer esto a mano en matemáticas de secundaria, pero recuerdo que era tedioso pero manejable.

De esto se deduce que puede tomar cualquier función de transferencia de filtro deseada expresada como un polinomio y traducirla a un conjunto de ecuaciones cuadráticas, si es necesario, a mano.

Estas ecuaciones cuadráticas son, por supuesto, secciones de filtro de segundo orden en papel; traducirlos en circuitos es un paso relativamente fácil.

Entonces, históricamente, esta ha sido la única forma de lidiar con las matemáticas del diseño de filtros. Y la práctica electrónica se ha desarrollado en torno a las matemáticas subyacentes. Ahora tenemos métodos numéricos para la síntesis, pero los bloques de construcción estándar como las secciones de Sallen&Key dedicadas a este enfoque anterior suelen ser más fáciles.

En términos de polos, un filtro como una llave Sallen de segundo orden tiene: -

1. Polos conjugados complejos (que producen una resonancia en el diagrama de Bode)
2. Un solo polo real (no complejo) ($\zeta$= 1)
3. Un par de polos reales ($\zeta$> 1)

Un filtro más complejo (de mayor orden) tendrá múltiples versiones del anterior. Por ejemplo, un filtro Butterworth de sexto orden tendrá polos colocados así: -

Las X rojas marcan un par conjugado; el verde marca otro par conjugado, etc. Para un filtro butterworth, todos los polos se sientan en un círculo de magnitud$\omega_n$, la frecuencia de resonancia natural (en radianes por segundo). Para diferentes tipos de filtros de orden par, los polos seguirán apareciendo como pares conjugados, pero no estarán necesariamente confinados al círculo (sinónimo de filtros Butterworth).

¿Por qué usaríamos filtros de segundo orden para construir un filtro de orden superior?

Tiene sentido usar un circuito que genere naturalmente un par de polos conjugados y luego "apilarlos" para producir múltiples pares conjugados para realizar un filtro de orden superior.

¿El problema de la oscilación está en los filtros de orden superior?

A medida que los polos se acercan al eje vertical, hay mayores oscilaciones amortiguadas cuando la entrada del filtro es un impulso o un escalón. Esto es lo que se esperaría, por supuesto. Siempre que los polos estén colocados correctamente, no debería producirse una oscilación sostenida.

Una cosa que he encontrado al diseñar filtros de alto orden es tener el circuito de par conjugado de Q inferior como entrada y los pares conjugados de Q superior después de esa etapa. La ventaja que esto brinda es que no hay un timbre excesivo que pueda causar el recorte del riel del amplificador operacional porque cualquier borde transitorio ha sido suficientemente filtrado por las etapas precedentes de Q más bajo.

Agregado

No necesariamente tiene que limitar un filtro activo a un segundo orden y amplificadores operacionales en cascada, pero hace que sea más fácil controlar las impedancias o ecuaciones de la fuente, y reduce el margen de fase. Aquí, con un LPF de sexto orden, obtuve una Q de 100 en el pico, pero pude eliminar eso con alguna ganancia de compensación en el interruptor. < Simulación

¿Por qué usaríamos filtros de segundo orden para crear un filtro de orden superior, como Sallen & Key y otros?

Porque tú puedes. Además, no puede hacer más que un filtro RC activo de segundo orden.

¿El problema de la oscilación está en los filtros de orden superior?

No.

No, a menos que comience a aplicar incorrectamente comentarios negativos entre muchas etapas múltiples.

La ventaja de muchos filtros de segundo y primer orden en cascada es que el punto de ruptura y Q de cada etapa se pueden escalonar para ajustarse a un polinomio como la banda de paso de ondulación de 0,5 dB de Chebychev con un tope de banda de ladrillo.

Aquí, un filtro Chebychev de quinto orden puede atenuar 62 dB a 2 octavas hacia arriba, así como una fase lineal (retraso de grupo constante) LPF de octavo orden.

Observe el Q máximo de cada tipo de filtro.

Un filtro de octavo orden solo necesita un amplificador operacional cuádruple y todos estos filtros tardan menos de un minuto en diseñarse con software gratuito y práctica, sabiendo cómo definir las especificaciones del filtro. .

La belleza de este software propiedad de TI es que puede elegir cualquier tolerancia de R y C desde perfecta, 1%, 2%, 5% a 20% y el cambio es instantáneo e interactivo. Hace LPF, BPF, HPF y APF y proporciona una Lista de materiales (BOM) que puede exportar a Excel.