¿Existe una prueba simple de que las leyes de circuito de Kirchhoff siempre proporcionan un conjunto de ecuaciones exactamente completo?

La respuesta no es del todo simple, para mostrar esto necesitamos algo de teoría de grafos y matrices. Hay un hermoso documento que explica esta relación en detalle:

Gráficos, matrices y teoría de circuitos . Takis Konstantopoulus, febrero de 2000.

Disponible en Semantic Scholar ; enlace original en la Universidad de Uppsala (ahora muerto; versión archivada ).

Creo que la "razón fundamental" de esto está relacionada con el hecho de que cada ciclo tiene diferentes variables, si podemos generar un ciclo usando otro ciclo, las ecuaciones no serán independientes, por supuesto, esta es mi opinión, todas las matemáticas están en el documento.

He aquí un contraejemplo:

Supongamos que dos baterías ideales idénticas (con resistencia interna cero) están conectadas en paralelo a través de una sola resistencia; de manera equivalente, reemplace una de las resistencias en su diagrama con una segunda batería idéntica. Suponga también que los cables conductores son ideales (nuevamente, sin resistencia).

Las leyes de Kirchhoff en este caso dan como resultado un sistema indeterminado. Si la corriente a través de la resistencia única es I y el voltaje a través de ambas baterías ideales es V , no puede encontrar la corriente a través de ninguna de las baterías usando solo las leyes de Kirchoff; ambos bucles dan el voltaje a través de la resistencia como V , y ambas uniones dicen que la suma de las corrientes a través de las baterías debe ser igual a I , pero no le permiten calcular ninguna de esas corrientes. Por ejemplo, una corriente de 3 I hacia arriba a través de una batería y 2 I hacia abajo a través de la otra satisface el sistema de ecuaciones. En este caso, debe usar un argumento de simetría para concluir que la corriente a través de cada batería es I /2.

Sin embargo, esto no es un problema al usar equipos del mundo real, ya que las fuentes de voltaje siempre tienen cierta cantidad de resistencia interna asociada. Entonces, si aceptamos usar elementos de circuito no ideales, entonces estoy de acuerdo con la respuesta proporcionada por @Hu.

Esto plantea indirectamente otra pregunta; ¿Son significativas las leyes de Kirchoff en los circuitos ideales? Estoy seguro de que hay muchos más ejemplos como el anterior, donde el sistema resultante de ecuaciones lineales está subdeterminado (aunque dudo que haya casos que estén sobredeterminados). Usamos situaciones ideales para modelar sistemas reales, pero ¿es una buena idea cuando las respuestas no están determinadas en el caso ideal?

Esta respuesta está adaptada del Problema 1.4 en Používáme lineární algebru , un libro de problemas resueltos en álgebra lineal (accesible gratuitamente en línea pero desafortunadamente solo en checo, AFAIK). Lo mostraré con las siguientes suposiciones:

• Nos ocupamos de un circuito de CC o CA (de baja frecuencia) cuyos únicos elementos son resistencias y fuentes de tensión ideales,
• Cada borde del circuito tiene una resistencia distinta de cero (positiva),

Las leyes del circuito de Kirchhoff dan una solución única para la corriente y el voltaje en cada elemento del circuito.

Primero algunos comentarios. La singularidad es fácil de entender en términos físicos. La linealidad de las leyes de Kirchhoff implica que solo puede haber más de una solución si el mismo circuito con las fuentes eliminadas (es decir, su voltaje puesto a cero sin cambiar la topología del circuito) puede soportar corrientes no triviales. La suposición de resistencia positiva de cada borde del circuito hace que esto sea físicamente imposible debido a la conservación de la energía. Por la misma razón, creo que la misma afirmación se aplica a los circuitos de CA con otros elementos además de las resistencias, siempre que la impedancia de cada borde tenga una parte real positiva. Sin embargo, no es inmediatamente obvio para mí cómo el siguiente argumento se generaliza a este caso. También se puede ver fácilmente que abandonar la suposición de resistencia positiva puede conducir tanto a ambigüedades en la solución como a patologías: vea las respuestas de Ryan Hazelton y Alfred Centauri. Finalmente, el mismo argumento debería aplicarse a los circuitos con idealfuentes de corriente debido a la dualidad entre los dos tipos de fuentes; la suposición de fuentes de voltaje ideales es solo por simplicidad de notación.

Ahora al negocio. Asumiré WLOG que el circuito está representado por un gráfico conectado; de lo contrario, uno simplemente considera todos los componentes conectados uno por uno. El argumento sigue esencialmente el método de tensión de nodo . En el primer paso, nos damos cuenta de que la segunda ley de Kirchhoff (voltaje) es equivalente a la existencia de un potencial en el gráfico. Supongamos que el circuito tiene$N$vértices (nodos). Podemos elegir el potencial de uno de ellos arbitrariamente, digamos$u_1=0$. Para una solución dada de las leyes de Kirchhoff, podemos obtener el potencial$u_i$del$i$-ésimo vértice sumando las caídas de voltaje sobre las resistencias y los voltajes entregados por las fuentes sobre cualquier ruta que conecte el$i$-ésimo vértice a$u_1$. La segunda ley de Kirchhoff garantiza que el resultado para$u_i$es independiente de la elección del camino, y por lo tanto bien definida.

En el segundo paso, tratamos con un conjunto de ecuaciones para los potenciales desconocidos$u_2,\dotsc,u_N$, implícita en la primera ley (actual) de Kirchhoff. Solo consideramos los vértices.$2,\dotsc,N$, lo que da$N-1$ecuaciones para el$N-1$potenciales desconocidos. La ecuación para el$i$-th vértice se lee simbólicamente

$$\sum_j\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij})=0,$$ donde la suma es sobre todos los vértices$j$conectado a$i$por un borde,$R_{ij}$denota la resistencia en el borde$ij$, y$U_{ij}$el voltaje entregado por las fuentes en el mismo. Podemos escribir este conjunto de ecuaciones en forma matricial,$M\vec u=\vec U$, dónde$\vec u=(u_2,\dotsc,u_N)^T$y$\vec U$contiene los datos de origen. Los elementos diagonales de la matriz.$M$son $$M_{ii}=\sum_j\frac1{R_{ij}},$$ mientras que los elementos fuera de la diagonal son $$M_{ij}= \begin{cases} -1/R_{ij}\text{ if $i$ and $j$ are connected and $j\neq1$,}\\ 0\text{ otherwise.} \end{cases}$$ La positividad de todas las resistencias implica que $$\sum_{j\neq i}|M_{ij}|\leq|M_{ii}|$$ para todos$i=2,\dotsc,N$. Además, existen tales$i$(aquellos conectados por un borde a$u_1$) para los que se cumple la desigualdad estricta. Esto implica que la matriz$M$es diagonalmente dominante y, por lo tanto, invertible. Esto garantiza que el conjunto de ecuaciones para los potenciales$u_2,\dotsc,u_N$tiene una solución única.

Una vez que se conocen todos los potenciales, las corrientes a través de todos los bordes del circuito se reconstruyen fácilmente. La corriente a través del borde$ij$es, simbólicamente,

$$I_{ij}=\frac1{R_{ij}}(u_i-u_j+U_{ij}).$$ Esto concluye el argumento y muestra matemáticamente por qué la suposición de resistencias positivas es una condición suficiente para establecer la existencia de una solución única. De manera más general, existe una solución única siempre que la matriz definida anteriormente$M_{ij}$, que depende de la topología del circuito y de las resistencias pero no de las fuentes, no es singular. Debería$M_{ij}$ser singular, puede haber más de una solución, o ninguna solución, como se sabe del álgebra lineal .

siempre hay suficientes ecuaciones para precisar todo (el sistema lineal nunca se subdetermina).

Aquí hay un circuito ideal simple, que consta de una fuente de corriente controlada por voltaje (VCCS) y una resistencia, donde la corriente de la resistencia$I_R$no está determinado por las ecuaciones del circuito:

El voltaje a través de la resistencia (el terminal superior es positivo) viene dado por la ley de Ohm:

$$V_R = I_R\cdot 1\Omega$$

El voltaje de control VCCS es igual a$V_R$por KVL, y la corriente del resistor es igual a la corriente VCCS por KCL. Por lo tanto, la corriente de la resistencia viene dada por

$$I_R = V_R \cdot 1\mho$$

y así las ecuaciones del circuito dan

$$I_R = I_R\cdot 1\Omega\cdot 1\mho = I_R$$

Es decir, cualquier valor para$I_R$resuelve este circuito.

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Actualización para abordar este comentario:

La pregunta enumera qué componentes están permitidos. Un VCCS no es uno de ellos. – Ben Crowell hace 1 hora

De hecho, la pregunta enumera (1) resistencias, (2) fuentes de voltaje y (3) fuentes de corriente como los componentes permitidos de acuerdo con la oración inicial:

Supongamos que tengo un circuito eléctrico complicado que se compone exclusivamente de resistencias y fuentes de tensión y corriente...

Ahora un VCCS es una fuente actual . El término "fuente de corriente", sin calificar ni independiente ni dependiente (controlada) , puede referirse a cualquier tipo.

Una fuente de corriente ideal genera una corriente que es independiente de los cambios de voltaje a través de ella. ... Si la corriente a través de una fuente de corriente ideal se puede especificar independientemente de cualquier otra variable en un circuito, se le llama fuente de corriente independiente . Por el contrario, si la corriente a través de una fuente de corriente ideal está determinada por algún otro voltaje o corriente en un circuito, se denomina fuente de corriente dependiente o controlada .

Puede ser que a Emilio solo le interesen los circuitos con fuentes independientes para esta pregunta. Pero ciertamente no es el caso que la pregunta establezca explícitamente eso, ni es el caso que uno podría concluir racionalmente que las fuentes dependientes están obviamente excluidas de la consideración.

Entonces, a menos y hasta que Emilio edite su pregunta para indicar explícitamente que solo se deben considerar los circuitos con resistencias y fuentes independientes, dejaré esta respuesta como está.

El segundo problema resuelve el primero. Si se conocen suficientes datos de la medición, entonces el estado del sistema se determina de manera única. Si se midieron más que suficientes datos, esto no afectará la solución, a menos, por supuesto, que no se cumplan los supuestos de Kirchhoff o que las ecuaciones de Maxwell sean defectuosas.

En cuanto a las razones fundamentales solicitadas, las leyes de Kirchhoff se derivan directamente de las ecuaciones de Maxwell, que implican la conservación de la corriente y la desaparición de${\bf \nabla} \times {\bf E}$bajo los supuestos de Kirchhoff.