¿Por qué son raros los asteroides con inclinación orbital cero?

Respuesta corta: la escasez de asteroides con una inclinación cercana a cero es un resultado esperado de inclinaciones distribuidas normalmente en 3 dimensiones sobre el vector normal al plano de referencia, en lugar de un sesgo de selección o una órbita "despejada" alrededor de cero grados de inclinación.

Respuesta larga: la inclinación orbital se define típicamente como el ángulo entre un plano de referencia y el plano orbital:

Una definición equivalente es el ángulo entre un plano de referencia normal y el eje de revolución del cuerpo en órbita superpuesto aquí:

Observe que el eje de revolución se puede mapear a un punto en la Esfera Celestial. Podemos generar una distribución gaussiana de puntos en la esfera unitaria centrada con la media en la normal de referencia utilizando la distribución de von-Mises Fisher . El algoritmo específico para generar puntos de muestreo se proporciona en Stack Overflow .

Aquí hay un grupo de 20 puntos de intercepción del eje de revolución con sus correspondientes órbitas circulares:

Podemos generar y trazar mil puntos en una esfera unitaria (que giro para mostrar la estructura):

Tenga en cuenta que solo los puntos más altos de esta distribución corresponden a ángulos de inclinación de casi cero. A medida que aumenta la inclinación, los puntos se vuelven menos densos, pero las áreas de la esfera unitaria son más grandes. El siguiente gráfico está mirando hacia abajo desde arriba del Polo Norte, con las órbitas con una inclinación de menos de 2 grados de color rojo y las órbitas con inclinaciones de entre 2 y 4 grados de color verde. Tenga en cuenta que aunque los puntos son los más densos en el polo, el área cubierta es la más pequeña, por lo que 13 puntos son rojos, mientras que 50 puntos son verdes. Esta es la explicación de por qué vemos muy pocas órbitas de asteroides con inclinaciones de menos de 1/2 grado con respecto a la pregunta original.

A continuación se muestra un gráfico con el eje y como inclinación y el eje x como longitud en comparación con la publicación del OP. Elegí una desviación estándar que era demasiado grande, pero el Monte Carlo de 1000 puntos demuestra el mismo efecto estadístico solicitado por el OP.

Notas:

1. El ejemplo anterior es para elipses circulares, todas con la misma SMA por conveniencia, pero no creo que perdamos ninguna generalidad.

2. Supongo que el plano de referencia en la imagen utilizada por el OP es la eclíptica de la Tierra, pero la respuesta anterior funciona para el plano ecuatorial del Sol, el plano orbital de Júpiter o cualquier otro plano de referencia cercano. Podemos suponer que la media 2D de la distribución de la inclinación del asteroide en realidad va a estar un poco desplazada de cualquier elección de plano de referencia normal.

3. La mecánica orbital puede ser muy poco intuitiva. La inclinación es un valor 1D, pero su distribución de probabilidad subyacente representativa se modela mejor en una superficie esférica 2D en 3D.

4. Es algo irónico que afirme que esto es estrictamente un problema matemático, pero no hay ecuaciones en la publicación anterior. El poder del enfoque de Monte Carlo está en su simplicidad y el atractivo resultante para la intuición matemática.

5. Los estadísticos/probabilistas deberían reconocer inmediatamente la distribución de las inclinaciones de la órbita como una variante de la distribución de Rayleigh , lo que debería dar una pista de que se ha producido una compresión de variables 2D a 1D.

6. Mi código de Matlab está disponible bajo petición.

En coordenadas polares esféricas, una de las coordenadas utilizadas es un ángulo entre la dirección a un punto en el espacio y un "polo". Sea este "polo" el polo norte de la eclíptica y llame al ángulo la inclinación$i$(es decir, la inclinación es el ángulo entre la dirección en la que apunta el eje orbital y el polo norte de la eclíptica).

Si muchas órbitas de asteroides se orientaran aleatoriamente en el espacio, entonces el número de órbitas en cualquier intervalo dado inclinación de ángulos de inclinación$di$, sería proporcional al área de una esfera cubierta por ese rango de ángulos de inclinación. Esa area$dA$es dado por

$$dA \propto \sin i\ di$$ Uno puede ver intuitivamente este resultado imaginando la inclinación como una co-latitud en la Tierra (es decir, cero grados en el polo norte, 90 grados en el ecuador) y preguntándose qué parte de la superficie de la Tierra está en co-latitud alta o baja. La respuesta es muy poco cerca del polo norte y mucho más en el ecuador. De la misma manera, sería muy poco probable que los asteroides distribuidos aleatoriamente tuvieran$0<i<0.5^\circ$porque hay muy poca área en una esfera en este rango.

El hecho de que la mayoría de los asteroides tengan$i<16^\circ$te está diciendo que están fuertemente concentrados hacia órbitas en el plano de la eclíptica, pero la falta de objetos con$i<0.5^\circ$es creo que sólo por el factor discutido anteriormente. De hecho, es fácil demostrar que sólo el 0,002% de un conjunto uniformemente distribuido de inclinaciones orbitales tendría$0 < i < 0.5^\circ$. Incluso si fuéramos (y quizás de manera más realista) a confinar todos los asteroides para tener$0< i <16^{\circ}$, entonces solo el 0.09% de estos tendrían$0<i<0.5^\circ$.

Para estar seguro, uno debe trazar$1 - \cos i$en el eje y, ya que si las órbitas de los asteroides estuvieran distribuidas uniformemente, usar esta coordenada daría números iguales para intervalos iguales en el eje y. Así, los efectos físicos genuinos podrían distinguirse fácilmente de las meras consecuencias matemáticas del sistema de coordenadas elegido.

Propondré que se puede entender trivialmente.

¿Cuál sería la distribución de inclinación de círculos distribuidos aleatoriamente en tres dimensiones sobre algún punto? Podríamos generarlos distribuyendo las normales a sus planos orbitales uniformemente en una esfera unitaria, y llamar al plano medio o al plano definido por$\theta=\pi/2$la eclíptica. Órbitas con una inclinación$i=0$tendrán sus normales apuntando "hacia arriba" ($\theta=0$) y los que orbitan en el "camino equivocado" con$i=\pi$tendrá igualmente ($\theta=\pi$).

Entonces nosotros tenemos$dn/d\theta = \sin(\theta)$que es cero para órbitas cercanas a la eclíptica y aumenta linealmente al principio.

La caída a 10-15 grados se debe a que el sistema solar no es aleatorio, sino que es tanto una criatura como una creación de momento angular.

Si toma esos datos y los proyecta de nuevo al eje de inclinación, predigo que verá un aumento aproximadamente lineal desde cero. Si hay una zona muerta muy cercana a cero, eso se debe a que los planetas están dispersos unos pocos grados de inclinación y tienen una propensión a mezclar las cosas.