¿Por qué se pueden usar elipses para encontrar cuadrados en el dibujo en perspectiva?

En el libro How to Draw de Scott Robertson, propone un método para encontrar cuadrados proporcionales usando elipses:

cómo dibujar libro

(las "condiciones" que menciona se describen en la página anterior y son simplemente que los lados izquierdo y derecho de la elipse deben encontrarse con los lados del plano en sus puntos medios y los puntos superior e inferior deben estar alineados verticalmente)

Entiendo que un círculo siempre se convierte en una elipse en perspectiva, pero no entiendo la idea que se propone aquí de que una elipse que se ajusta al lado de un plano en perspectiva debe ser un círculo perfecto en vista de planta. ¿Qué impide que esta elipse que se dibuja aquí sea también una elipse (diferentemente proporcionada) en la vista en planta?

Sin embargo, a través de la experimentación he encontrado que esto es cierto. A continuación se muestran dos cubos perfectos en un programa de modelado 3D, y al superponer la herramienta de elipse sobre ambos, la única manera de hacer que la elipse encaje de la manera descrita por Scott termina con la elipse encajando perfectamente en la cara de uno de los cubitos.

captura de pantalla de la licuadora

Sin embargo, también encontré un caso extremo en el que esto no es cierto. Cuando el eje menor de la elipse es paralelo a la línea del horizonte, cualquier tamaño de elipse se ajusta a las reglas de lo que debería crear un cuadrado perfecto.

Según las reglas de Scott, este es un cuadrado perfecto:

diagrama de elipse

Y sin embargo, también lo es esto:

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Entonces, dado que esta regla es cierta en algunos casos, pero no en todos, mis preguntas son:

1) ¿Cuál es el razonamiento detrás de esta regla? ¿Cómo se obtiene dibujando una elipse de esta manera en un círculo perfecto?

2) ¿Cuándo se puede aplicar esta regla y cuándo se rompe?

El texto del libro que se muestra asume al principio que ya se puede dibujar una sola elipse y un cuadrado de perspectiva a su alrededor. (=dibuje primero una elipse, luego dibuje el único cuadrado de perspectiva posible a su alrededor) La combinación entre el cuadrado y la elipse se crea con las reglas que se explican en las páginas anteriores. Supongo que no sigues esas reglas. No tengo ese libro, por lo que no es posible escribir una respuesta debidamente argumentada en lugar de conjeturas. Pero obtendrá uno que asume que el libro es perfecto.
@ user287001 Entiendo que cada elipse en perspectiva se puede representar como un círculo perfecto en la vista en planta desde algún ángulo. Pero lo que no me sigue es la idea de que una elipse que dibujas en un plano en ángulo representará un círculo perfecto en ese mismo ángulo. Mira las dos últimas imágenes en mi pregunta. Claramente, al menos uno de estos no es un círculo perfecto en el ángulo del plano.
@JShorthouse En realidad, no puedes hacer esto. Es una aproximación de uso frecuente. Pero un círculo no se convertirá en un óvalo en un dibujo en perspectiva. Además, los ejes principales de dicha elipse aproximada no están a lo largo del eje que ha dibujado
@joojaa "Pero un círculo no se convertirá en un óvalo en un dibujo en perspectiva" ¿tienes una fuente/explicación para esto? Pensé que esto era bastante universalmente considerado como cierto. "Un círculo en el espacio físico siempre aparece como una elipse en el plano de la imagen, excepto cuando se ve de canto". handprint.com/HP/WCL/perspect5.html
math.stackexchange.com/questions/2674874/… ¿Por qué sería esto importante? Bueno, podrías estar parado en el círculo de tu imagen.
De todos modos, el problema es que has dibujado mal la elipse. El eje mayor y el menor no siempre coinciden en la forma en que piensas. De todos modos, es posible que desee buscar el método del cable.
@joojaa Entonces, un círculo siempre se convierte en una elipse, a menos que, obviamente, el círculo no encaje completamente en el plano de la imagen. ¿Cuál era el punto de ser tan pedante con esto? Pero de todos modos, ¿qué crees que está mal con mis hachas? El eje menor siempre apunta hacia el punto de fuga opuesto, ¿verdad? ¿Qué elipse en mis ejemplos está dibujada incorrectamente?
Ambos. Deberías buscar el método de acordes. También tenga en cuenta que la tangente no ocurre en los ejes sino en otro lugar, por lo que está buscando en el lugar equivocado.
@joojaa Lo siento, estaba olvidando lo que estaba en mi publicación. Sé que las dos imágenes que dibujé son incorrectas, ese era el punto de mi pregunta. Sin embargo, la imagen en la que he superpuesto una elipse en un renderizado 3D es correcta, ¿verdad?
No, no toca todos los bordes tangencialmente. Pero está más cerca
@joojaa Muy bien, entonces las dos cosas principales que hay que buscar son que el eje menor apunte hacia el punto de fuga opuesto y que todos los bordes de la elipse golpeen tangencialmente los puntos medios de los bordes del plano. He leído sobre el método de acordes antes, pero lo buscaré nuevamente, el método de acordes es solo una forma de verificar que ambas propiedades se cumplen, ¿verdad? ¿No presenta restricciones adicionales?
Tienes razón en estar desconcertado por esto. En resumen, las técnicas de Scott Robertson se basan en algunos conceptos erróneos comunes que no siempre funcionan, como muestra su ejemplo. El "método de acordes", tal como lo entiendo, se basa en el mismo concepto erróneo.

Respuestas (2)

Tienes razón en que tres líneas tangentes no determinan únicamente una elipse. Sin embargo, dado también el eje menor, tenemos suficiente información. El objetivo del método de Scott Robertson es suponer que la elipse en cuestión corresponde a un círculo y que el objeto está cerca del centro de visión. Bajo esos supuestos, el eje menor estará efectivamente a lo largo de la normal al plano del círculo y pasando por su centro. Por lo tanto, dadas tres líneas a través de un cuadrado en perspectiva, así como su orientación, podemos inscribir una elipse para tener una buena idea de dónde colocar el cuarto lado.

Hay un par de problemas con la técnica de Robertson. Por un lado, se desmorona si su objeto no está cerca del centro de visión. (Presenta su técnica como si fuera una verdad universal, pero en realidad es solo una aproximación). Considere los siguientes cubos, por ejemplo:

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Dado que los cubos están distorsionados por la perspectiva extrema, el método de Robertson conduciría a un dibujo tremendamente incorrecto. La superficie normal ni siquiera está cerca del eje menor de la elipse.

Otro problema es la cuestión que planteas donde se encuentra el eje menor a lo largo del horizonte. En este caso, no es que el método de Robertson sea tan erróneo como insuficiente. Considere el siguiente cubo:

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Las elipses inscritas en las dos caras visibles tendrían el mismo eje menor (es decir, a lo largo del horizonte), pero sus grados obviamente serían muy diferentes. Entonces tiene razón cuando dice "Según las reglas de Scott, este es un cuadrado perfecto [...] y, sin embargo, también lo es". Esencialmente, ya necesitamos saber dónde está el cuarto lado (que podríamos juzgar por intuición en función del ángulo, o medir con mayor precisión de otra manera), lo que, por supuesto, hace que el método de la elipse no tenga sentido.

En resumen, tome las técnicas de Robertson como aproximaciones que son útiles en algunas situaciones, pero no en todas, y tenga cuidado de no creer todo lo que afirma.

Interpreta incorrectamente los términos "alineado verticalmente" y "punto medio". No deben pensarse en términos de su dibujo, sino en la vista imaginaria donde un lado y un círculo interior están rectos en la cara del observador.

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Aquí está un lado de la esquina de la cuadrícula. El punto de fuga V y los puntos A y B se seleccionan solo por su buen aspecto. AB es una arista de un cubo. AV y BV son las direcciones de 2 aristas más. Pero la colocación de la 4ª arista GH se puede realizar con una elipse.

Se debe colocar la elipse de modo que tenga tangentes AB, AV y BV. Solo cabe una elipse, no hay otras opciones. Ha colocado puntos suspensivos totalmente diferentes, la regla de tangencia 3 x no se respeta en absoluto.

La diagonal horizontal de la recta en el círculo de la cara se mapea en una línea que está entre el punto de tangencia C y V. C es el punto de media altura en AB.

El punto de media altura en GH es el cruce F. La tangente en F es el GH que falta.

Los ejes principales de la elipse generalmente NO son las imágenes en perspectiva de las diagonales horizontales y verticales de la recta en el círculo de la cara.

AGREGAR: encontrar G y H no necesita dibujar una tangente a través de F. También se pueden dibujar líneas desde A y B hasta el cruce J. Extender esas líneas para cruzar AV y BV da G y H

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Todavía se necesita la elipse porque J es el cruce de CV y ​​DE. Sin la elipse no tienes C,D ni E.

Entonces, solo para aclarar, la clave aquí (que falta en el libro) es que en los puntos medios, las tangentes de la elipse deben tener ángulos iguales a los bordes del plano. Eso tiene mucho sentido, y aunque antes sabía que mi segundo dibujo era obviamente incorrecto, ahora es fácil demostrar que lo es: las tangentes donde la elipse se encuentra con los bordes serían básicamente completamente horizontales, no coinciden con los bordes del plano. en absoluto.
@JShorthouse No, el libro dice esto en el texto de la imagen 2. Es solo un poco opaco. El ejemplo es malo aunque es demasiado recto para que termines pensando en buscar tangentes en el lugar equivocado.
@JShorthouse tangente de una curva es una línea que se encuentra con la curva exactamente en un punto. Usa ese criterio. Todos los ángulos son consecuencias de ese hecho, no intentes adivinar sus relaciones. Las imágenes de los puntos donde el círculo dentro de la recta del cuadrado de cara se encuentra con el cuadrado son C, D, E y F. Son las imágenes de los puntos medios de las aristas del cuadrado. C,D,E y F difieren de los puntos medios de AB, AG, GH y BH.
@ user287001 No estoy exactamente seguro de lo que está tratando de decir, ¿solo está diciendo que los puntos medios en el plano de la imagen no son los mismos que los puntos medios reales del cuadrado? Porque eso ya lo sabía, perdón si no he sido claro. Esto es lo que entiendo de tu respuesta, ¿es correcto? "Los lugares donde la elipse se encuentra con los bordes del plano deben estar en los puntos medios del cuadrado real, y en esos puntos la tangente de la elipse debe ser igual al borde del plano".
Esto está bien: "Los lugares donde la elipse se encuentra con los bordes del plano deben estar en los puntos medios del cuadrado real". El siguiente es ambiguo: "en esos puntos la tangente de la elipse debe ser igual a la arista del plano" Palabra "igual" =? Igual con que medidas? "igualdad" es un significado aceptable para igual.
@ user287001 No sé el término matemático exacto, por "igual" quiero decir que las líneas estarían una encima de la otra, es decir, tienen exactamente el mismo ángulo.
@JShorthouse No puedo entender del texto qué ángulos deberían ser iguales. Recomiendo no adivinar nada acerca de los ángulos. Mucha gente trata de ver un ángulo distinto de cero entre una curva y una línea que es la tangente de esa curva. En matemáticas, tal intento es una tontería total hasta que el hablante también da un método de cómo se mide el ángulo.
¿Por qué se pueden usar elipses para encontrar cuadrados en el dibujo en perspectiva?
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