¿Por qué se acelerará el aumento de la luminosidad del sol con respecto al tiempo?

Es razonablemente sencillo mostrar (p. ej., véase la página 105 de estas notas de clase ) que la luminosidad de una estrella de secuencia principal como el Sol depende únicamente de su masa y de su composición interior y opacidad:

$$L = \frac{\mu^4}{\kappa}M^3\ ,$$ dónde$M$es la masa,$\mu$es el número de unidades de masa por partícula en el interior y$\kappa$es la opacidad promedio en la estrella.

El proceso de fusión nuclear convierte 4 núcleos de hidrógeno (protones) en un núcleo de helio. Si tomamos 4 protones + 4 electrones (para la neutralidad), entonces$\mu=1/2$. Para un gas de helio puro tenemos un núcleo de helio más 2 electrones y$\mu = 4/3$así como el núcleo de la estrella cambia de hidrógeno a helio entonces$\mu$aumenta

Supongamos por el momento que$\kappa$permanece constante (en realidad, la eliminación de electrones hace$\kappa$disminuir también, pero no es el efecto dominante aquí), entonces la tasa a la que$\mu$los cambios serán proporcionales a la velocidad de las reacciones nucleares, que a su vez es proporcional a la luminosidad. Por eso

$$\frac{d\mu}{dt} \propto L\ .$$ Pero de la primera ecuación podemos decir $$\frac{dL}{dt} \propto 4\frac{\mu^3}{\kappa} M^3 \frac{d\mu}{dt} \propto 4\frac{L^2}{\mu} \propto 4 L^{7/4} \kappa^{1/4} M^{-3/4}\, ,$$

De este modo$dL/dt$depende de$L^{7/4}$, lo que significa que a medida que crece la luminosidad, la tasa de cambio de luminosidad aumenta significativamente, ya que$M$es constante

Este es un problema de varias etapas. Primero, debe estar de acuerdo con el hecho de que cuanto más se contrae el núcleo, más alta será la energía total radiada por él. Esto resulta de:

• cuando divide el radio del núcleo por 2, el perfil de densidad permanece constante (que es una mala aproximación, pero lo uso aquí por simplicidad), la fuerza gravitacional dentro del núcleo será el doble (ya que todas las distancias son dividido por 2);
• la superficie se dividirá por 4
• la presión necesaria para soportar todo en el núcleo se duplicará para soportar la gravedad
• la temperatura aumentará en consecuencia
• la energía radiada, como sigma*T^4, aumentará... 16 veces

Entonces, cuanto más compacta sea una "estrella común", más energía irradiará. Esto no es cierto para las enanas blancas, porque es la presión de degeneración del gas de electrones lo que evita que colapse. Para comentar sobre los radios de las estrellas, a medida que hay más energía radiada, o la estrella se vuelve más azul (gigantes azules), o se vuelve más grande y mantiene la misma temperatura superficial, o menos, lo que le sucederá al sol (simplemente se inflará, luego convertirse en un gigante rojo). Ahora sobre las reacciones de fusión: su dependencia de la temperatura es muy, muy aguda, a veces T^17 localmente. Esto significa que solo una contracción relativamente pequeña del núcleo será suficiente para aumentar la temperatura lo suficiente como para que las reacciones de fusión se aceleren lo suficiente para... mantener la temperatura, aunque la energía radiada haya aumentado. Como puedes adivinar, la energía radiada, cuando la distribución de la densidad no cambia mucho, debe estar en equilibrio con la energía de la fusión nuclear. Entonces, a medida que hay más energía radiada (más luminosidad, si la tasa de emisión de neutrinos se mantiene constante, como es el cas mientras la reacción primaria sigue siendo H+H->He), debe haber una mayor tasa de combustión de hidrógeno.

Entonces, incluso con la tasa mantenida constante, habría tomado menos tiempo pasar del 50% al 25% de hidrógeno que del 100% al 50%: la misma masa absoluta de hidrógeno representa una fracción mayor de la cantidad total de hidrógeno en la estrella, más tarde la mides. Por eso, como el aumento necesario en la velocidad de reacción (constantes de reacción nuclear) proviene de la rarefacción del Hidrógeno, una rarefacción del 20% ocurrirá en cada vez menos tiempo. Si una rarefacción del 20 % corresponde a un aumento en la luminosidad de, digamos, un 10 %, entonces, como la próxima rarefacción del 20 % en hidrógeno ocurrirá más rápido, el próximo aumento relativo del 10 % en la luminosidad también ocurrirá más rápido.

Todo lo que dije es cierto con una tasa de destrucción de hidrógeno general constante. Como dije, la energía radiada aumenta, por lo que el Hidrógeno debe consumirse cada vez más rápido: la luminosidad se acelerará aún más por eso.

Finalmente, cuando el combustible principal cambie de Hidrógeno a Helio, la energía liberada por unidad de masa disminuirá, por lo que las contracciones del núcleo se volverán más intensas, acelerando... la aceleración.

Espero no haber cometido muchos errores en mi discurso, no estoy muy familiarizado con la astrofísica, solo tuve algunas conferencias al respecto. Y espero que sea... ¡comprensible!