¿Por qué podemos cuantificar el oscilador armónico macro (meso)scópico?

Dos comentarios:

(1) Me opongo a su pregunta: en los estados macro o mesoscópico, pensé que generalmente todavía consideramos (la colección de muchos) osciladores armónicos microscópicos , como los ejemplos de cavidad, o BEC o superfluidos.

Un ejemplo bien conocido es una transición de superfluido-aislante 1+1D. (¿Está familiarizado con este modelo?) Dado un hamiltoniano reticular microscópico:

$$H=-t \sum_{\langle i,j \rangle} (\psi_i^\dagger \psi_j +\psi_j^\dagger \psi_i) + U \sum_i (\hat{N}_i - \langle\bar{N}\rangle)^2$$ Con $\psi_j$de algún operador de bosón y operador de número de bosón es $N_i=\psi_j^\dagger \psi_j$. Puede demostrar que la (2da) cuantización, con $\psi_j = \sqrt{N_j} e^{i \theta_j}$de la fase U(1) $\theta$, con conmutadores $[ \psi_i, \psi_j^\dagger]= \delta_{i,j}$. puedes derivar $$\boxed{ [ \theta_i, \hat{N}_j]=-i \delta_{i,j}}.$$ El límite del campo continuo es la ecuación libre de Klein-Gordon. Sobre todo tienen dispersión lineal. $\boxed{\omega \propto k}$. Este es el modo superfluido cuando se rompe la simetría U(1), y

La derivación aquí para este conmutador$[ \theta_i, \hat{N}_j]=-i \delta_{i,j}$da algo que puede referirse a un oscilador armónico macro o mesoscópico (disfrazado, análogo a$[x,p]=i \hbar$para un oscilador armónico de un solo sitio) , pero no es NADA misterioso sino un efecto general de una colección de fenómenos microscópicos. El grado de libertad y la cuantificación son de los operadores microscópicos de creación/aniquilación en cada sitio. Por lo tanto, son solo un fenómeno de una colección de muchos osciladores armónicos microscópicos .

(2) Respalde su pregunta: hay ejemplos de sistemas de materia condensada, uno considere los grados de libertad emergentes, donde las cuasipartículas (como 2 + 1D anyons) son de hecho bastante diferentes de los constituyentes fundamentales. Vea un ejemplo de la teoría topológica emergente de Chern-Simons, donde se puede derivar un fenómeno de un oscilador armónico macro o mesoscópico en su propio idioma (haciendo una cuantificación en los campos de calibre emergentes intrínsecos (anyons)) , y muchos otros ejemplos como en código tórico o en el modelo string-net.

Para empezar, el sistema macroscópico está sujeto a las mismas leyes que el microscópico, aunque es más difícil aislarlo de su entorno. En cualquier caso, se puede considerar que su oscilador armónico está hecho de muchas partículas, cada una con su operador hamiltoniano individual, junto con las interacciones entre cada partícula, por lo que el hamiltoniano total es solo la suma de estos y actúa sobre la función de onda para todo el sistema. Ahora, siempre puede elegir diferentes variables para describir el sistema, y ​​un cambio de variable conveniente resulta ser$x_\mathrm{com}$, el centro de masa del sistema, y$x_i$, la posición del$i^\mathrm{th}$partícula con respecto al centro de masa. En su mayoría encontrará que la variable$x_\mathrm{com}$no ingresa ninguno de los términos de interacción, debido a la invariancia de traducción del problema, excepto donde ingresa a la función potencial$V(x_\mathrm{com})$y la energía cinética. Por lo tanto, puede escribir su función de onda como$\Psi(x_\mathrm{com}, x_1,x_2,\dots) = \Psi_\mathrm{com}(x_\mathrm{com}) \times \psi(x_1,x_2,\dots)$, o, al menos, una superposición de tales estados. Una vez que tenga una solución que satisfaga

$$(T_\mathrm{com} + V_\mathrm{com}) \Psi_\mathrm{com}(x_\mathrm{com}) = E_\mathrm{com} \Psi_\mathrm{com}(x_\mathrm{com})$$ puede sustituir esa solución en la función de onda para todo el sistema y resolver el movimiento de las otras partículas. En otras palabras, el centro de los factores de movimiento y su dinámica se pueden considerar por separado.

Habiendo dicho eso, las soluciones normales que obtiene para los osciladores armónicos no son muy buenas para los sistemas macroscópicos, porque tienen una gran incertidumbre y no se parecen en nada al comportamiento clásico, por lo que entonces consideraría estados coherentes.

Cuando excitas un oscilador compuesto, todos los bits microscópicos oscilan en fase entre sí.

Hablando cuánticamente, no es solo que todos los bits microscópicos estén excitados por separado, sino que es realmente crucial que sus fases oscilatorias estén todas alineadas en algún sentido.