¿Por qué no hay necesidad de conocimiento adicional para pasar de la descripción clásica a la cuántica de un sistema?

No se puede conocer la "razón" por la que funciona el procedimiento de cuantificación. Preguntar por qué lo que describe la naturaleza describe la naturaleza no es una pregunta que la física pueda responder.

Sin embargo, el procedimiento de cuantización no funciona sin conocimientos adicionales . De hecho, ni siquiera se sabe en todos los casos cuál es el procedimiento "correcto" para la cuantificación. Enumeraré varios obstáculos (sin ninguna pretensión de exhaustividad) que deberían convencerlo de que hay información adicional necesaria para cuantificar un sistema clásico:

• El teorema de no-go de Groenewold-van Hove (ver también esta respuesta mía ) dice que la cuantización canónica que simplemente reemplaza los corchetes de Poisson con conmutadores no funciona en la generalidad en la que nos gustaría. Hay varias modificaciones posibles al corchete de Poisson (o más bien el producto de observables clásicos en el espacio de fase) que producen un procedimiento de cuantificación consistente, pero esa elección no es única . Está utilizando información adicional cuando elige una modificación en particular. Este es esencialmente el reflejo formal de lo que generalmente se llama una "ambigüedad de orden": dado un observable clásico$x^np^m = x^{n-1}p^m x = \dots = p^m x^n$, ¿cuál de estas expresiones clásicamente equivalentes conviertes en el operador cuántico correspondiente, si tienes el CCR entre$x$y$p$haciéndolos a todos desiguales en la teoría cuántica?

• Anomalías cuánticas: para una discusión general de anomalías, vea esta excelente respuesta de DavidBarMoshe , para una derivación formal de la posibilidad de la aparición de cargas centrales en el paso de la teoría clásica a la cuántica, vea esta respuesta mía . La conclusión es que en el curso de la cuantización podemos "ampliar" nuestros grupos de simetría clásica, y es posible que los objetos que antes eran invariantes ya no lo sean. Esto generalmente introduce un nuevo parámetro en la teoría cuántica, la carga central del grupo de simetría ampliado, y nuevamente necesita una entrada adicional para determinarse, si no destruye la teoría cuántica por completo.

  De hecho, este podría ser el aspecto más importante de tal anomalía: si tiene una anomalía de calibre o simetría gravitacional, no tiene una teoría cuántica consistente. En ciertas teorías de campo, el término anomalía está naturalmente determinado por el resto de la teoría, por lo que, a menos que se cancelen "milagrosamente", la teoría cuántica de tales teorías de campo no existe en el sentido habitual. Ninguna cantidad de información adicional puede arreglar esto, simplemente no conocemos una cuantización consistente de tales teorías.

• El problema de la red: Clásicamente, es bastante indiscutible que podemos ver las teorías de campos continuos como los límites de las teorías discretizadas. Cuánticamente, esto se vuelve terriblemente difícil: no se sabe si el límite del continuo de una teoría reticular cuantificada coincide con la cuantificación de la teoría del continuo; de hecho, creo que no siempre es así, véase, por ejemplo, el problema de la trivialidad de la red$\phi^4$teoría. Sin embargo, se podría comentar que este problema en particular se debe a la ausencia de un marco completamente riguroso de la teoría cuántica de campos en general.

Finalmente, permítanme comentar que pensar en la cuantización como una operación fundamental es al revés si tomamos en serio la mecánica cuántica: es el sistema clásico el que debe obtenerse del sistema cuántico en un cierto límite, no al revés. Es perfectamente posible que haya sistemas cuánticos sin el sistema clásico correspondiente; simplemente no tienen forma de verlos que nos parezcan clásicos. Para un ejemplo ondulado, piense en los grados de libertad fermiónicos/espín-1/2: estos son muy difíciles de encontrar en una teoría clásica ya que simplemente no hay motivación para considerarlos, pero emergen de forma bastante natural desde el punto de vista cuántico.

En este sentido, es notable lo bien que funciona la cuantización como principio rector general, pero no debería sorprendernos que el "no necesitamos ningún conocimiento adicional" no sea realmente exacto.

Hace algunos años comencé con casi la misma pregunta: "¿Qué es lo que nos hace cuantificar un sistema o qué sucede cuando cuantificamos un sistema?"

Preguntas como esta se hicieron hace aproximadamente 90-50 años de manera similar analizando si la descripción de la mecánica cuántica es completa y real o no (es decir, si todos los elementos tienen una contraparte real).

El tema se resolvió con la llamada interpretación de Copenhague , la paradoja EPR y finalmente con las desigualdades de Bell , que en conjunto nos dicen que la mecánica cuántica es un poco extraña. Por ejemplo, uno no debería pensar en la función de onda como una partícula real a menos que actualmente se mida con algún aparato de medición clásico y que tales cosas estén en absoluta contradicción con una explicación pictórica razonable de la mecánica cuántica.

Encontré todo eso un poco insatisfactorio y continué encontrando una falla en esa visión de la mecánica cuántica.

Lo primero con lo que me topé fue con la mecánica bohmiana, que trata de explicar el procedimiento de cuantización por el hecho de que, de hecho, simplemente no conocíamos las ecuaciones clásicas "correctas". Se puede demostrar que resolviendo la ecuación de Schrödinger (a la que se llega por cuantización canónica )

cuando se consideran funciones de onda$\Psi = R \cdot \exp \left(i\frac{S}{\hbar}\right)$lo cual no es una restricción a la generalidad. La ecuación (2) es la ecuación de continuidad para una densidad de carga$\rho = R^2$cuál resulta ser la distribución de probabilidad$\varrho = |\Psi|^2 = R^2$en mecánica cuántica. La primera ecuación (1) es simplemente la mecánica clásica habitual extendida por un potencial adicional$Q = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta R}{R}$el llamado potencial cuántico . Sin embargo, esta interpretación tiene algunos problemas. En primer lugar, no puede explicar (solo axiomizar) por qué una distribución de carga real$R^2$gobierna todo el comportamiento estadístico de un sistema independientemente de las otras fuerzas que actúan$\vec{F}$.

La clave para comprender la mecánica cuántica es comprender su naturaleza estadística. Entonces, ¿podría ser que la mecánica cuántica sea algún tipo de mecánica estadística clásica habitual (dado que ambas parecen estar relacionadas por los mismos lagrangianos/hamiltonianos)?

Bell investigó esta pregunta mediante sus famosas desigualdades de Bell y llegó a la conclusión de que, de hecho, hay valores esperados en la mecánica cuántica (que están de acuerdo con el experimento) que no pueden ser reproducidos por ninguna mecánica estadística clásica (en el sentido habitual de no instantáneo). acción, por ejemplo, mecánica relativista). Fue nominado a un premio Nobel lo que da cuenta de la credibilidad que los físicos ponen en estas desigualdades. Como resultado, no debería haber forma de describir la mecánica cuántica sobre la base de la mecánica estadística clásica.

Sin embargo, en lo que respecta a mi análisis , hay una gran falla en la derivación de esas desigualdades, que las hace desprovistas de significado (por ejemplo, los sistemas clásicos también pueden violarlas). No soy el primero en llegar a esta conclusión, de hecho, hay una gran lista de las llamadas lagunas en el teorema de Bell , que en su mayor parte se concentran en el proceso de medición y en si las violaciones, si se encuentran, pueden interpretarse de acuerdo con el teorema de Bell.

Desafortunadamente, debido a la naturaleza filosófica de esa pregunta, todo ese campo de investigación se ha desviado hacia el área de chiflados . Solo últimamente (los últimos 10-20 años más o menos) volvió a ser un poco más popular.

Ahora, si acepta mi afirmación de que el teorema de Bell es incorrecto , no hay necesidad de descartar la posibilidad de que la mecánica cuántica sea algún tipo de mecánica estadística. De hecho, podría haber una manera de mostrar que el proceso de cuantificar una teoría es solo hacer mecánica estadística clásica con algunas suposiciones adicionales.

Aún así, esto no puede explicar el hecho de que la mecánica estadística clásica habitual es una mecánica estadística de conjunto, mientras que la QM estándar y los experimentos suelen tratarse de partículas individuales. En la mecánica de conjuntos, se calculan los valores esperados sobre la base de muchas partículas similares e independientes que tienen diferentes valores iniciales (por ejemplo, lugar y momento). Sin embargo, en un experimento, parece que una sola partícula sabe místicamente cómo comportarse de acuerdo con partículas de conjunto diferentes y no presentes. Este problema puede resolverse mediante el llamado principio de ergodicidad , que establece que para algunos sistemas el valor medio a lo largo del tiempo es el mismo que la media del conjunto. Por lo general, esto solo es válido para los sistemas caóticos, para los que claramente tenemos contraejemplos (no todos los sistemas que observamos se comportan de manera caótica).

El pináculo actual de la mecánica cuántica QFT se deshace de la descripción de la naturaleza sobre la base de partículas. Todo se convierte en un campo, que es un objeto con infinitos grados de libertad . Por ejemplo, hay un campo de electrones, así como un campo de fotones. Solo más tarde se introducen estados, que están en estrecha relación con las partículas tal como las conocemos. En el contexto de la interpretación estadística clásica, esto significa que las partículas son solo artefactos estadísticos de la teoría, es decir, los campos pueden estar en estados que "simulan" el comportamiento de las partículas. Debido a la infinidad de grados de libertad de dicho campo, es muy posible que se cumpla el principio de ergodicidad, de modo que una medición dentro de un cierto intervalo de tiempo finito$\Delta t$en realidad refleja la media del conjunto del campo!

Como resultado, hemos recuperado la siguiente vista pictórica de la mecánica cuántica :

Tomemos por ejemplo el átomo de hidrógeno. Consiste en un campo de electrones, un campo de fotones y un campo de protones (o más bien campos de quarks y gluones, que forman el protón). Esos campos se comportan de acuerdo con los valores no cuantificados.ecuaciones de QFT-Lagrangianas. Debido a la infinidad de grados de libertad, el comportamiento es muy caótico. Como resultado, solo estamos interesados ​​en el comportamiento medio de tal sistema. Entonces se intentaría calcular la media temporal de ese sistema que es (debido al principio de ergodicidad) la misma que la media del conjunto. El proceso de cuantización canónica ahora es solo el uso de la mecánica estadística de conjunto habitual. Sabemos que hay estados estadísticos que corresponden a nuestra visión pictórica de partículas individuales y, por lo tanto, podemos explicar por qué los experimentos muestran que el átomo de hidrógeno consta de partículas que actúan de manera diferente a las partículas libres. Por ejemplo, el electrón no irradia Bremsstrahlung y tiene un nivel de energía medio cuantificado porque los estados parciales (estadísticos) están vinculadosson en última instancia diferentes a los formados por campos que no interactúan ( estados de partículas estadísticas libres ).

Entonces, para volver a su pregunta: "¿Por qué no hay necesidad de conocimiento adicional para pasar de la descripción clásica a la cuántica de un sistema?"

Respuesta : Simplemente hacemos mecánica estadística basada en las ecuaciones clásicas.

Este es un punto de vista altamente hipotético, pero representa mis puntos de vista actuales sobre el proceso de cuantización y la mecánica cuántica. Todo cae y se para con la suposición:$\textrm{quantization} \leftrightarrow \textrm{statistical mechanics}$. Ha habido algún trabajo sobre este tema, por ejemplo, en la forma de la mecánica clásica de Koopman-von Neumann, que muestra que la mecánica estadística se puede llevar a una forma de operadores en espacios de Hilbert. Recientemente también encontré una forma de derivar la regla de cuantificación.$\vec{p} \rightarrow -i\hbar \vec{\nabla}$basado en un valor esperado mecánico estadístico clásico, pero aún no está en una forma que pueda publicarse. Así que toma todo esto con precaución.