¿Por qué los núcleos de spin-1212\frac{1}{2} tienen un momento cuadripolar eléctrico cero?

La respuesta es: El teorema de Wigner-Eckart .

En el antiguo acoplamiento de momento angular (ver coeficientes de Clebsch-Gordan ) aprendemos que si un sistema consta de un subsistema de espín-1/2 y un subsistema de espín-2, entonces el sistema total puede ser de espín-5/2 o de espín-2. 3/2, ningún otro valor. las reglas son

1. $|j_1-j_2| \leq j_\mathrm{total} \leq j_1+j_2$
2. $j_1+j_2+j_\mathrm{total}$es un número entero.

Bueno, el teorema de Wigner-Eckart nos enseña que se aplican reglas similares que involucran operadores. El operador de cuadrupolo eléctrico$Q$se puede expresar como un operador de tensor esférico de rango 2. Cuando actúa sobre un sistema spin-1/2, el spin resultante sólo puede ser$\frac{5}{2}$o$\frac{3}{2}$. Así que si estás calculando$\langle\frac{1}{2}| Q|\frac{1}{2}\rangle$, puedes agruparlo como$\langle \frac{1}{2}| \;\;\; Q |\frac{1}{2}\rangle$. En otras palabras, este es el producto interno de un spin-$\frac{1}{2}$sistema con$Q|\frac{1}{2}\rangle$(que es girar$\frac{3}{2}$o$\frac{5}{2}$). Entonces son ortogonales; el producto interior es cero.$\langle\frac{1}{2}| Q |\frac{1}{2}\rangle=0$.

Por lógica similar, los momentos dipolares (eléctricos o magnéticos) requieren espín ≥ 1/2, los momentos cuadripolares requieren espín ≥ 1, los momentos octupolares requieren espín ≥ 3/2, etc. rango 3, etc)

Quiero complementar la respuesta formal de Steve Byrnes anterior con una simple observación que hace obvio en la práctica que un espín 1/2 no puede tener un momento cuadrupolar de manera significativa.

Para ver esto, observe que la interacción cuadripolar entra en el hamiltoniano a través de un término de la forma

$V = \vec{I}\cdot \mathbb{Q} \cdot \vec{I}$,

dónde$\vec{I}$es el vector de espín nuclear y donde$\mathbb{Q}$es el tensor cuadripolar. El tensor cuadripolar es simétrico, por lo que siempre hay una base en la que es diagonal. Entonces, sin pérdida de generalidad, centrémonos en las interacciones de la forma

$V = \mathbb{Q}_{xx} I_x^2 + \mathbb{Q}_{yy} I_y^2 + \mathbb{Q}_{zz} I_z^2$,

dónde$\mathbb{Q}_{jj}$es el$j$ª componente diagonal del tensor cuadripolar. Para un giro 1/2, los operadores de giro son la mitad de los operadores de Pauli,$I_j = \sigma_i/2$. Como consecuencia, siempre cuadran con$1/4$. Asi que

$V = \frac{1}{4}\left(\mathbb{Q}_{xx} + \mathbb{Q}_{yy} + \mathbb{Q}_{zz}\right) = \frac{1}{4}\textrm{Tr}\left(\mathbb{Q}\right)$.

Pero debido a que el tensor cuadripolar siempre no tiene trazas, esto significa que$V = 0$idénticamente Por lo tanto, incluso si postuláramos un momento cuadripolar para el espín 1/2, no podría entrar en el hamiltoniano. El álgebra de los operadores spin-1/2 solo permite una interacción de cuadrupolo cero.