¿Por qué los fasores no dan el estado transitorio?

Question

¿Por qué los fasores no dan el estado transitorio?

dfg

No entiendo por qué el análisis fasorial no nos dice nada sobre el estado transitorio. ¿Exactamente en qué parte del análisis se "pierde" la parte transitoria?

shamtam

En resumen, al convertir de

s

$s$ a

j ω

$j\omega$ . Tenga en cuenta que, en general,

s = σ + j ω

$s = \sigma + j\omega$ . ¿Qué pasa cuando evalúas

e^{s}

$e^{s}$ para ambos,

σ

$\sigma$ cero y distinto de cero?

dfg

@Shamtam Oh, ya veo, ¿entonces esencialmente no estás considerando la posibilidad de que la magnitud no sea 1? (ya que para que la magnitud sea distinta de 1, la parte real tendría que ser distinta de cero)

shamtam

La magnitud de

A e^{s}

$Ae^{s}$ es siempre

A

$A$ , así que no exactamente (en el caso anterior,

A = 1

$A = 1$ ). Si tiene un exponencial elevado a un valor imaginario escalado, recupera una sinusoide tanto en magnitud como en fase (estado estable); cuando tiene un exponencial elevado a un valor real, recupera un crecimiento/decaimiento exponencial en magnitud con fase de cero/180 grados (transitoria). Elevar a un número complejo da como resultado solo el producto de ambos casos (la combinación de respuestas transitorias y forzadas).

dfg

@Shamtam Tiene sentido, gracias. ¿Podrías publicar tu comentario como respuesta? Estaré encantado de aceptarlo.

Respuestas (6)

¿Por qué los fasores no dan el estado transitorio?

En resumen, al convertir de $s$ a $j\omega$ . Tenga en cuenta que, en general, $s = \sigma + j\omega$ . ¿Qué pasa cuando evalúas $e^{s}$ para ambos, $\sigma$ cero y distinto de cero?
@Shamtam Oh, ya veo, ¿entonces esencialmente no estás considerando la posibilidad de que la magnitud no sea 1? (ya que para que la magnitud sea distinta de 1, la parte real tendría que ser distinta de cero)
La magnitud de $Ae^{s}$ es siempre $A$ , así que no exactamente (en el caso anterior, $A = 1$ ). Si tiene un exponencial elevado a un valor imaginario escalado, recupera una sinusoide tanto en magnitud como en fase (estado estable); cuando tiene un exponencial elevado a un valor real, recupera un crecimiento/decaimiento exponencial en magnitud con fase de cero/180 grados (transitoria). Elevar a un número complejo da como resultado solo el producto de ambos casos (la combinación de respuestas transitorias y forzadas).
@Shamtam Tiene sentido, gracias. ¿Podrías publicar tu comentario como respuesta? Estaré encantado de aceptarlo.

shamtam · Answer 1

El análisis fasorial nos permite analizar la respuesta de un circuito a una respuesta de estado estable sinusoidal a una frecuencia única determinada. Representamos un voltaje en el dominio del tiempo $V(t) = V_{0}cos(\omega t + \phi)$ en forma fasorial transformándolo en un exponencial complejo a través de la fórmula de Euler...

A porque (ω t + ϕ) = R mi {A {mi}^{j (ω t + ϕ)}} = R mi {A {mi}^{j ϕ} {mi}^{j ω t}}

$A\cos(\omega t + \phi) = Re\{Ae^{j( \omega t~+~\phi)}\} = Re\{Ae^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

... y luego ignorando la dependencia de frecuencia/tiempo (ya que asumimos que todo en el circuito está excitado por una sinusoide constante de la misma frecuencia). Por lo tanto,

V = A {mi}^{j ϕ}

$V= Ae^{j\phi}$

Esto $V$ es lo que llamamos un fasor. Podemos representar cualquier corriente o voltaje como un fasor. Para recuperar una representación en el dominio del tiempo de un fasor, puede multiplicarla por $e^{j\omega t}$ y luego tomar la parte real. Tenga en cuenta que a veces, en aras de la brevedad/familiaridad en el cálculo de la potencia, también convertimos la amplitud del fasor en valores RMS (dividir la magnitud por $\sqrt{2}$ para una sinusoide). Los fasores nos permiten usar técnicas análogas de análisis DC para recuperar funciones de transferencia de circuitos lineales (usando impedancias). Usando la superposición, podemos usar el análisis de Fourier para analizar la respuesta de estado estable completa de un circuito como una suma de su respuesta de estado estable debido a diferentes componentes de frecuencia.

Es útil notar la relación de los fasores con la representación de Laplace de un circuito. La representación de Laplace de un circuito utiliza la variable $s = \sigma + j\omega$ . Tenga en cuenta que para $\sigma = 0$ , la función de transferencia de la representación de Laplace de un circuito se reduce a la representación fasorial. Esta es una buena indicación de que la parte real de $s$ representa una respuesta transitoria (y esto se puede observar fácilmente observando que $e^{at}$ para cualquier verdadero $a$ dará como resultado un valor real que crece o decae exponencialmente). Tenga en cuenta que la representación de Laplace es una representación más general de un circuito que incluye respuestas transitorias y de estado estable. Del mismo modo, es bueno notar que la transformada de Fourier es solo un caso especial de la transformada de Laplace más general (el caso donde $\sigma = 0$ en $s = j\omega$ ).

Adán Haun · Answer 2

Matemáticamente, nada se pierde. El análisis fasorial le brinda el valor de cada voltaje y corriente en el circuito para todos los tiempos, en forma de funciones de coseno:

V_{a} = A_{1} porque (ω t + ϕ_{1})

$V_a = A_1 \cos (\omega t + \phi_1)$

V_{b} = A_{2} porque (ω t + ϕ_{2})

$V_b = A_2 \cos (\omega t + \phi_2)$

{yo}_{C} = A_{3} porque (ω t + ϕ_{3})

$I_c = A_3 \cos (\omega t + \phi_3)$

mi t C .

$etc.$

Tu específicas $\omega$ y la amplitud y fase para al menos un voltaje o corriente, y el análisis fasorial le da $A$ y $\phi$ para todo el resto.

El problema no es que el comportamiento transitorio se pierda, ¡es que nunca lo pones! Por definición , el análisis fasorial funciona en sinusoides eternos inmutables en una sola frecuencia aplicada a un sistema lineal invariante en el tiempo, el llamado estado estacionario sinusoidal. "Estado estacionario" es lo opuesto a "transitorio". Puede extender esto para cubrir el crecimiento y la decadencia exponencial, pero nuevamente, esto es un crecimiento y una decadencia eternos . Las matemáticas solo funcionan porque sus voltajes y corrientes son exponenciales complejos, que no están distorsionados por ecuaciones diferenciales lineales.

Para describir una situación en la que activa un interruptor en t = 0, necesita usar una función de paso. Las funciones escalonadas no se pueden representar con una sola frecuencia, por lo que el análisis fasorial falla. Para manejar esto, necesita usar el análisis de Fourier.

Nota al margen: en el último párrafo, la transformada de Laplace también es válida y, por supuesto, el análisis en el dominio del tiempo.

Big6 · Answer 3

Sé que esta es una respuesta tardía, pero quiero dar una idea diferente de por qué los fasores solo dan la respuesta de estado estable.

Considere el conocido circuito RC, con una fuente impulsora $v_s=\text{V}\cos(\omega t + \phi)$ , entonces tienes la ecuación diferencial:

RC \frac{d v_{C}}{d t} + v_{C} = porque (ω t + ϕ)

$\text{RC}\dfrac{dv_c}{dt} + v_c=\cos(\omega t + \phi)$

Desde un punto de vista matemático, puedes resolver esta ecuación diferencial encontrando la solución homogénea y una solución particular y cuando las sumas obtienes la solución general . Hasta ahora tan bueno.

Los fasores le dan solo una solución particular (no le da la solución homogénea, que es la solución transitoria) y la solución particular es lo que llamamos la respuesta de estado estacionario.

En otras palabras, la solución homogénea (respuesta transitoria o natural) es la solución a

\frac{d v_{C}}{d t} + \frac{1}{RC} v_{C} = 0

$\dfrac{dv_c}{dt} + \dfrac{1}{\text{RC}}v_c=0$

que se puede encontrar por el método del factor integrante.

Y la solución particular , utilizando el hecho de que puede escribir la fuente de entrada como $\Re\{\text{V}e^{j\omega t}e^{j\phi}\}$ , donde $\Re$ significa la parte real de. Para la solución particular, hacemos una 'suposición', basada en la función forzada:

\frac{d v_{C}}{d t} + \frac{1}{RC} v_{C} = \frac{V}{RC} {mi}^{j ϕ} {mi}^{j ω t}

$\dfrac{dv_c}{dt} + \dfrac{1}{\text{RC}}v_c= \dfrac{\text{V}}{\text{RC}}e^{j\phi}e^{j\omega t}$

Si supone que su solución particular tiene la forma $v_{c,p}=\text{A}e^{j\omega t}$ , donde $A$ será un fasor también (tendrá una magnitud y una fase al final), al igual que $\text{V}e^{j\phi}$ es, por la definición de un fasor.

j ω A {mi}^{j ω t} + \frac{1}{RC} A {mi}^{j ω t} = \frac{V}{RC} {mi}^{j ϕ} {mi}^{j ω t}

$j\omega \text{A}e^{j\omega t}+ \dfrac{1}{\text{RC}}\text{A}e^{j\omega t}= \dfrac{\text{V}}{\text{RC}}e^{j\phi}e^{j\omega t}$ que puedes simplificar dividiendo por

e^{j ω t}

$e^{j\omega t}$ y factorizando el

A

$\text{A}$ términos

A (j ω + \frac{1}{RC}) = \frac{V}{RC} {mi}^{j ϕ}

$\text{A}\bigg(j\omega+\dfrac{1}{\text{RC}}\bigg)= \dfrac{\text{V}}{\text{RC}}e^{j\phi}$

A = \frac{V {mi}^{j ϕ}}{j ω RC + 1}

$\text{A}=\dfrac{\text{V}e^{j\phi}}{j\omega\text{RC}+1}$

Y en el fin, $\text{A}$ , será un fasor de la forma:

A = | A | ∠ θ

$\text{A}=|\text{A}|\angle{\theta}$

Así que cuando encuentres $v_{c,p}$ , solo tiene la solución particular (respuesta forzada, estado estacionario). Aún necesitaría encontrar la solución a la ecuación homogénea antes mencionada para tener una respuesta completa.

En resumen, los fasores le dan una solución particular a la ecuación diferencial.

Hola, entonces, ¿qué pasaría si incluyeras ${mi}^{j ω t}$ $e^{j \omega t}$ en el fasor. Dado que ahora estamos tratando con una cantidad que incluye la varianza en el tiempo, ¿podríamos ahora encontrar la solución general/transitoria?
@Resquiens No sé si entiendo bien tu pregunta. Una vez que encuentre la solución particular ( $v_{c,p}=\text{A}e^{j\omega t}$ ) donde A es el fasor que se encuentra en la publicación, esa sigue siendo la solución particular. Para encontrar la respuesta general, debe encontrar la solución de la ecuación diferencial original con el lado derecho igual a cero (transitorio) y agregarla a la solución particular. La solución general también podría encontrarse usando la transformada de Laplace.
Permítanme precisar una cosa: La solución homogénea NO es la solución transitoria: esta última es la suma de la solución homogénea más la solución particular). O, en términos más "circuitales", la respuesta transitoria es la suma de las respuestas libre y forzada. Aparte de eso: creo que esta es la mejor respuesta, porque es precisa y simple: el análisis fasorial no da la respuesta transitoria porque la respuesta transitoria involucra la respuesta natural, y esto no se obtiene mediante el análisis fasorial.
Gracias por el comentario @OrestesMas. Ha pasado un tiempo, pero mi recuerdo es que la respuesta transitoria es lo que decae a cero exponencialmente para un sistema estable y luego te quedas con la respuesta de estado estable después de que todos los transitorios se han extinguido. Sí recuerdo con seguridad que la solución completa es la solución homogénea + particular (lo que haría un matemático), o la libre + la respuesta forzada (EE), o la entrada cero + la respuesta de estado cero (EE/Sistemas de control) , todas esas formas suman el mismo resultado final, pero los términos individuales pueden ser diferentes.
Ver aquí :): en.m.wikipedia.org/wiki/Transient_(oscillation)
@Big6. Ese artículo de Wikipedia parece vincular el transitorio con la oscilación, lo cual es engañoso, ya que los circuitos pueden tener otro tipo de transitorios (principalmente exponenciales, pero también son posibles otros).

Orestes Mas · Answer 4

Aunque creo que la respuesta de @ Big6 es buena, me gustaría responder al OP desde el punto de vista de la transformada de Laplace, en aras de la exhaustividad.

Entonces, suponga que tiene un sistema SISO lineal que tiene una función de transferencia genérica $H(s)$ que satisface:

es de orden $N$ , por lo que tiene $N$ postes
es estable, por lo que todos sus polos tienen parte real negativa (están en el lado izquierdo del plano complejo).
El sistema no tiene condiciones iniciales (esto no es obligatorio pero acortará la explicación).

Además, suponga que alimenta la entrada del sistema con una función sinusoidal genérica $e(t)=A\cdot\cos(\omega\;t+\phi)$ .

Nuestro primer objetivo será encontrar la respuesta temporal del sistema usando la técnica de la Transformada de Laplace. Para ello utilizamos la relación,

\begin{matrix} (1) & R (s) = H (s) \cdot mi (s) \end{matrix}

$\begin{equation} R(s) = H(s) \cdot E(s) \tag{1} \end{equation}$

donde $E(s)$ respuesta $R(s)$ son las transformadas de Laplace de las señales de entrada y salida, respectivamente, y $H(s)$ es la función de transferencia.

Comenzamos usando relaciones trigonométricas básicas para encontrar la transformada de Laplace de la ecuación $(1)$ :

A \cdot porque (ω t + ϕ) = A \cdot [porque (ω t) \cdot porque (ϕ) - pecado (ω t) \cdot pecado (ϕ)]

$A\cdot\cos(\omega\;t+\phi) = A\cdot[\cos(\omega\;t)\cdot\cos(\phi) - \sin(\omega\;t)\cdot\sin(\phi)]$ asi que

\begin{matrix} (2) & mi (s) = L {mi (t)} = L {A \cdot porque (ω t + ϕ)} = A \cdot [\frac{s \cdot porque (ϕ)}{s^{2} + ω^{2}} - \frac{ω \cdot pecado (ϕ)}{s^{2} + ω^{2}}] \end{matrix}

$E(s) = \mathcal{L}\left\lbrace e(t) \right\rbrace = \mathcal{L}\left\lbrace A\cdot\cos(\omega\;t+\phi) \right\rbrace = A\cdot\left[\frac{s\cdot\cos(\phi)}{s^2+\omega^2} - \frac{\omega\cdot\sin(\phi)}{s^2+\omega^2}\right]\tag{2}$

Combinando ecuaciones $(1)$ y $(2)$ tenemos:

\begin{matrix} (3) & R (s) = H (s) \cdot A \cdot [\frac{s \cdot porque (ϕ) - ω \cdot pecado (ϕ)}{s^{2} + ω^{2}}] \end{matrix}

$R(s) = H(s) \cdot A\cdot\left[\frac{s\cdot\cos(\phi) - \omega\cdot\sin(\phi)}{s^2+\omega^2}\right]\tag{3}$

No sabemos mucho de $H(s)$ pero como tiene $N$ polos, podemos escribirlos explícitamente. Además, escribimos explícitamente los dos polos de $E(s)$ . después de eso, escribimos la expansión en fracciones parciales de R(s):

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} R (s) & = \frac{norte (s)}{(s - {pag}_{1}) \dots (s - {pag}_{norte})} \cdot A \cdot [\frac{s \cdot porque (ϕ) - ω \cdot pecado (ϕ)}{(s - j ω) \cdot (s + j ω)}] \\ = \frac{k_{1}}{(s - {pag}_{1})} + \dots + \frac{k_{norte}}{(s - {pag}_{norte})} + \frac{k}{(s - j ω)} + \frac{k^{*}}{(s + j ω)} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} R(s) &= \frac{N(s)}{(s-p_1)\cdots(s-p_n)}\cdot A\cdot\left[\frac{s\cdot\cos(\phi) - \omega\cdot\sin(\phi)}{(s-j\omega)\cdot(s+j\omega)}\right]\\ &= \color{blue}{\frac{k_1}{(s-p_1)} + \cdots + \frac{k_n}{(s-p_n)}} + \color{red}{\frac{k}{(s-j\omega)} + \frac{k^*}{(s+j\omega)}} \end{align}\tag{4}$

donde $k_1 \cdots k_n$ son los residuos asociados a los polos $p_1\cdots p_n$ y $k, k^*$ son los residuos (conjugados) asociados con los polos conjugados de la señal de entrada.

Ahora la parte clave: Nótese que los términos azules corresponden a la respuesta libre o natural del sistema (debido a los polos del sistema) y los términos rojos corresponden a la respuesta forzada (debido a los polos introducidos por la entrada externa). Tenga en cuenta también que debido a que se supone que el circuito es estable, la respuesta natural decaerá a cero después de un tiempo, y solo permanecerá la respuesta forzada (roja), que será la respuesta de estado estable de todo el circuito a esa entrada.

Entonces, si NO estamos INTERESADOS en calcular el transitorio , podemos obviar los términos azules y calcular solo la respuesta de estado estable (rojo), que denotaremos $R_{ss}(s)$ :

\begin{matrix} (5) & R_{s s} (s) = \frac{k}{(s - j ω)} + \frac{k^{*}}{(s + j ω)} \end{matrix}

$\color{red}{R_{ss}(s) = \frac{k}{(s-j\omega)} + \frac{k^*}{(s+j\omega)}}\tag{5}$

Calculamos ahora el residuo $k$ usando el método Heaviside Cover-Up en la ecuación $(3)$ :

\begin{aligned} k & = (s - j ω) \cdot H (s) \cdot A \cdot [\frac{s \cdot porque (ϕ) - ω \cdot pecado (ϕ)}{(s - j ω) \cdot (s + j ω)}] |_{s = j ω} \\ = H (j ω) \cdot A \cdot [\frac{j ω \cdot porque (ϕ) - ω pecado (ϕ)}{2 j ω}] \\ = H (j ω) \cdot \frac{A}{2} \cdot (porque (ϕ) + j pecado (ϕ)) \end{aligned}

$\begin{align} k &= (s-j\omega)\cdot H(s) \cdot A\cdot\left[\frac{s\cdot\cos(\phi) - \omega\cdot\sin(\phi)}{(s-j\omega)\cdot(s+j\omega)}\right]\Biggr\vert_{s=j\omega} \\ &= H(j\omega) \cdot A \cdot\left[\frac{j\omega\cdot\cos(\phi)-\omega\sin(\phi)}{2j\omega}\right]\\ &= H(j\omega) \cdot \frac{A}{2} \cdot \left(\cos(\phi) + j\sin(\phi)\right) \end{align}$

o, en forma polar:

\begin{matrix} (6) & k = | H (j ω) | \cdot \frac{A}{2} \cdot {mi}^{j (∡ H (j ω) + ϕ)} \end{matrix}

$k = \bigl|H(j\omega)\bigr| \cdot \frac{A}{2}\cdot e^{j(\measuredangle{H(j\omega)}+\phi)} \tag{6}$

Si sustituimos este residuo en la ecuación $(5)$ (el conjugado es sencillo), encuentra el Laplace Inverso de las dos fracciones y usa la fórmula de Euler para eliminar exponenciales complejos obtenemos:

\begin{matrix} (7) & r_{s s} (t) = A \cdot | H (j ω) | \cdot porque (ω t + ϕ + ∡ H (j ω)) \end{matrix}

$r_{ss}(t) = A \cdot \bigl|H(j\omega)\bigr| \cdot \cos\bigl(\omega\;t + \phi + \measuredangle{H(j\omega)}\bigr) \tag{7}$

Tener en cuenta que $(7)$ es la respuesta de estado estable a la señal de entrada $e(t)=A\cdot\cos(\omega\;t+\phi)$ . Entonces, ¿qué tiene que ver este resultado con el análisis fasorial? La respuesta es que si expresamos la entrada y la salida en forma fasorial tenemos:

\begin{aligned} \bar{mi} & = A \cdot {mi}^{j ϕ} \\ {\bar{R}}_{s s} & = A \cdot | H (j ω) | {mi}^{j (∡ H (j ω) + ϕ)} = | H (j ω) | {mi}^{j ∡ H (j ω)} \cdot A \cdot {mi}^{j ϕ} \end{aligned}

$\begin{align} \overline{\mathbf{E}} &= A\cdot e^{j\phi} \\ \overline{\mathbf{R}}_{ss} &= A\cdot \bigl|H(j\omega)\bigr|e^{j(\measuredangle{H(j\omega)}+\phi)} = \bigl|H(j\omega)\bigr|e^{j\measuredangle{H(j\omega)}} \cdot A\cdot e^{j\phi} \end{align}$ asi que

\begin{matrix} (8) & {\bar{R}}_{s s} = H (j ω) \cdot \bar{mi} \end{matrix}

$\overline{\mathbf{R}}_{ss} = H(j\omega) \cdot \overline{\mathbf{E}} \tag{8}$

Ecuación $(8)$ es el mismo que obtienes con el análisis fasorial, lo que explica por qué no obtienes la respuesta transitoria con él: porque todo el procedimiento del análisis fasorial está diseñado para ignorar la respuesta libre o natural, y va directamente a la respuesta forzada.

Ambiórix · Answer 5

Como Adam y Auston ya señalaron, la información transitoria nunca se incluye en el análisis fasorial, al menos no en 2D. Ponerlo requeriría una dimensión adicional, como esta envolvente de fasor 3D de una onda sinusoidal modulada en amplitud. ingrese la descripción de la imagen aquí

Un transitorio, como el decaimiento de una oscilación amortiguada, se vería como un vector giratorio en forma de cono que decae exponencialmente. Los números complejos tampoco serían adecuados.

austin · Answer 6

Los fasores asumen una forma de onda sinusoidal, las sinusoides continúan para siempre, no tienen ningún comportamiento transitorio. La parte transitoria se pierde de la misma manera que puede suponer que un capacitor que se ha estado cargando durante "mucho tiempo" está completamente cargado.

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