Su pregunta llega a los supuestos y fundamentos de la teoría de la impedancia.

Comienza escribiendo la ecuación diferencial para el sistema con una unidad de coseno. Recuerda que las soluciones de las ecuaciones diferenciales consisten en la respuesta natural y la respuesta forzada . La respuesta forzada depende de la entrada externa al circuito, que en su caso es la señal de coseno aplicada.

Mirando su resultado de Wolfram Alpha podemos identificar la respuesta natural como

$$K_1 e^{-t/RC}$$ . Ignoraremos esta porción transitoria por ahora, ya que la suposición para el uso de impedancias es un estado estable sinusoidal, lo que implica que estamos lejos de la respuesta transitoria.

La respuesta forzada es una suma de pecado y cos, que sí vemos en tu expresión. La parte clave que te falta es que puedes expresar esta suma de seno y coseno como una sola expresión de coseno con un coeficiente de escala y un desplazamiento de fase.

$$K_2 sin(wt) + K_3 cos(wt) = K_4 cos(wt + \phi)$$

Para calcular K_4 y \phi, utiliza la identidad trigonométrica del seno de una suma de ángulos. [1]

Entonces, cuando se aplica una sinusoide forzada al sistema, la salida es una versión de la señal con escala de amplitud y compensación de fase. Esto es lo que muestra un diagrama de Bode de un sistema LTI. Proporciona la escala de amplitud y el desplazamiento de fase.

La cantidad de matemáticas requerida para este análisis de ecuaciones diferenciales e identidades trigonométricas es engorrosa. Las impedancias son un atajo para llegar a la misma respuesta haciendo uso de la identidad de Euler, la superposición y el plano complejo. Esto termina por reducir las ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas, que son mucho más fáciles de resolver. Una prueba detallada de las impedancias está más allá del alcance de esta respuesta. La referencia [2] tiene una breve derivación de la impedancia de las ecuaciones diferenciales y trigonométricas. La mayoría de los libros de texto de introducción a los circuitos también deben incluir una derivación de la impedancia como parte de su introducción a la impedancia.

[1] https://www.myphysicslab.com/springs/trig-identity-en.html

[2] https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-071j-introduction-to-electronics-signals-and-measurement-spring-2006/lecture-notes/09_sss .pdf

Me gustaría dejarlo aún más claro.

Desde el circuito anterior utilizando el análisis del circuito, encontrará el voltaje de salida en este formulario a continuación con la constante de tiempo$\tau = \mathrm{RC} \ \mathrm{seconds}$. Ver esto para la derivación.

$\displaystyle V_{out}(t)= \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} \int V_{in}(t) \: \mathrm{e}^{\: t/\tau} \: \mathrm{d}t$

También me gustaría generalizar el voltaje de entrada.

$V_{in}(t)= \mathrm{A_0} \mathrm{e}^{\alpha t} \; \sin(\omega t + \phi_0) + \mathrm{DC_{offset}}$

Dónde

• $\mathrm{A_0}$es el factor de escala de amplitud
• $\alpha$es el factor de descomposición/crecimiento (0 = oscilante)
• $\phi_0$es el desplazamiento de fase inicial en radianes
• $\mathrm{DC_{offset}}$es la compensación de CC de entrada en voltios

Entonces

$\begin{aligned} \displaystyle V_{out}(t)&= \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} \int \left[ \mathrm{A_0} \mathrm{e}^{\alpha t} \; \sin(\omega t + \phi_0) + \mathrm{DC_{offset}}\right] \: \mathrm{e}^{\: t/\tau} \: \mathrm{d}t \\ \displaystyle &= \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} \int \left[\mathrm{DC_{offset}}\right] \: \mathrm{e}^{\: t/\tau} \: \mathrm{d}t \quad + \quad \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} \int \left[ \mathrm{A_0} \mathrm{e}^{\alpha t} \; \sin(\omega t + \phi_0)\right] \: \mathrm{e}^{\: t/\tau} \: \mathrm{d}t \\ \displaystyle &= \mathrm{DC_{offset}} + \mathrm{A_0} \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} \int \mathrm{e}^{(\alpha + 1/\tau)t} \; \sin(\omega t + \phi_0) \: \mathrm{d}t\\ \end{aligned}$

Resuelve la integral. Puede ver la derivación en otra respuesta SE aquí .

$$\boxed{\int \mathrm{e}^{\mathrm{a}x}\sin( \mathrm{b}x + \phi_0)\;\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{a}x}}{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}\left[\mathrm{a}\sin(\mathrm{b}x + \phi_0) - \mathrm{b}\cos(\mathrm{b}x+ \phi_0)\right] + \mathrm{c_1}}$$

Agregaré además la constante de compensación de fase inicial y la frecuencia angular. Realmente no importa en el proceso con este contexto ya que son constantes. Puedes intentar derivarlo tú mismo.

Simplifiquemos primero la parte trigonométrica. Ver la derivación del Teorema de la Suma Armónica . También existe otra versión con combinación de sin, arcsin, arccos, etcétera. Cada uno de ellos tiene una cierta ventaja sobre otro de evitar la función signum, el ajuste de fase o la generalización. Solo cubriré la versión cos arctan aquí.

$$\boxed{\gamma\sin(\lambda x+\phi_0)+\delta\cos(\lambda x+\phi_0)= \mathrm{sgn}(\delta) \: \sqrt{\gamma^2+\delta^2} \: \cos(\lambda x + \phi_0 + \phi)}$$

Dónde

$$\:\phi = \arctan \left( -\:\frac{\gamma}{\delta} \right)\:\mathrm{rad}$$

Sustituyéndolo, desracionalizando el denominador y dándonos cuenta de que signum es una función impar, podemos simplificar aún más la integral.

$\begin{aligned} \int \mathrm{e}^{\mathrm{a}x}\sin(\mathrm{b}x + \phi_0)\;\mathrm{d}x &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{a}x}}{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}\left[\mathrm{a}\sin(\mathrm{b}x + \phi_0) + (-\mathrm{b})\cos(\mathrm{b}x + \phi_0)\right] + \mathrm{c_1}\\ &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{a}x}}{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}\left[ \mathrm{sgn}(-b)\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{(-b)}^2} \: \cos\left(\mathrm{b}x + \phi_0 + \phi \right)\right] + \mathrm{c_1}\\ &=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{a}x}}{\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}} \: \mathrm{sgn}(-b) \cos\left(\mathrm{b}x+\phi_0 + \phi \right)+ \mathrm{c_1}\\ &=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{a}x}}{\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}} \: \mathrm{sgn}(-b) \cos\left[\mathrm{b}x+\phi_0 + \arctan\left(-\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{-b}}\right) \right]+ \mathrm{c_1}\\ &= \frac{-\mathrm{sgn}(b)}{\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}} \: \mathrm{e}^{\mathrm{a}x} \cos\left[\mathrm{b}x+\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right) \right]+ \mathrm{c_1} \end{aligned}$

Así obtenemos el resultado integral en la forma más simple

$$\boxed{\int \mathrm{e}^{\mathrm{a}x}\sin( \mathrm{b}x + \phi_0)\;\mathrm{d}x = \frac{-\mathrm{sgn}(b)}{\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}} \: \mathrm{e}^{\mathrm{a}x} \cos\left[\mathrm{b}x+\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right) \right]+ \mathrm{c_1} }$$

Continuemos nuestro intento de resolver el voltaje de salida.

$\begin{aligned} \displaystyle V_{out}(t)&= \mathrm{DC_{offset}} + \mathrm{A_0} \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} \int \mathrm{e}^{(\alpha + 1/\tau)t} \; \sin(\omega t + \phi_0) \: \mathrm{d}t \\ &= \small \mathrm{DC_{offset}} + \mathrm{A_0} \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} \left[ \frac{- \mathrm{sgn}(\omega) }{\sqrt{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}^2+\mathrm{\omega}^2}} \: \mathrm{e}^{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}t} \cos\left[\mathrm{\omega}t+\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}}{\mathrm{\omega}}\right) \right] + \mathrm{c_1} \right] \\ &= \small \mathrm{c_1} \mathrm{A_0} \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} + \mathrm{DC_{offset}} + \frac{ - \mathrm{sgn}(\omega) \: (\mathrm{A_0} / \tau)}{\sqrt{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}^2+\mathrm{\omega}^2}} \: \mathrm{e}^{\mathrm{\alpha}t} \cos\left[\mathrm{\omega}t+\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}}{\mathrm{\omega}}\right) \right] \\ \end{aligned}$

Resolver$\mathrm{c_1}$constante al inspeccionar el voltaje de salida del capacitor en un momento específico, generalmente el inicial en tiempo = cero o condición inicial$V_{out}(0)$.

$\begin{aligned} \displaystyle V_{out}(t) &= \small \mathrm{c_1} \mathrm{A_0} \frac{\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\tau} + \mathrm{DC_{offset}} + \frac{ - \mathrm{sgn}(\omega) \: (\mathrm{A_0} / \tau)}{\sqrt{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}^2+\mathrm{\omega}^2}} \: \mathrm{e}^{\mathrm{\alpha}t} \cos\left[\mathrm{\omega}t+\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}}{\mathrm{\omega}}\right) \right] \\ \displaystyle V_{out}(0) &= \small \mathrm{c_1} \mathrm{A_0} \frac{\mathrm{e}^{-(0)/\tau}}{\tau} + \mathrm{DC_{offset}} + \frac{ - \mathrm{sgn}(\omega) \: (\mathrm{A_0} / \tau)}{\sqrt{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}^2+\mathrm{\omega}^2}} \: \mathrm{e}^{\mathrm{\alpha}(0)} \cos\left[\mathrm{\omega}(0)+\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}}{\mathrm{\omega}}\right) \right] \\ \displaystyle V_{out}(0) &= \mathrm{c_1} \mathrm{A_0} \frac{1}{\tau} + \mathrm{DC_{offset}} - \frac{ \mathrm{sgn}(\omega) \: (\mathrm{A_0} / \tau)}{\sqrt{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}^2+\mathrm{\omega}^2}} \: \cos\left[\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}}{\mathrm{\omega}}\right) \right] \\ \displaystyle \mathrm{c_1} \mathrm{A_0} \frac{1}{\tau} &= V_{out}(0) - \mathrm{DC_{offset}} + \frac{ \mathrm{sgn}(\omega) \: (\mathrm{A_0} / \tau)}{\sqrt{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}^2+\mathrm{\omega}^2}} \: \cos\left[\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}}{\mathrm{\omega}}\right) \right] \end{aligned}$

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Conclusión

Con

$$V_{in}(t)= \mathrm{A_0} \mathrm{e}^{\alpha t} \; \sin(\omega t + \phi_0) + \mathrm{DC_{offset}}$$

Considerando

$$V_{out}(t) = V_{outNatural}(t) + V_{outForced}(t)$$

Por lo tanto

$$\boxed{ \begin{aligned} V_{out}(t) &= \left[ V_{out}(0) - \mathrm{DC_{offset}} + \frac{ \mathrm{sgn}(\omega) \: (\mathrm{A_0} / \tau)}{\sqrt{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}^2+\mathrm{\omega}^2}} \: \cos\left[\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}}{\mathrm{\omega}}\right) \right] \right] \: \mathrm{e}^{-t/\tau} \\ &+ \mathrm{DC_{offset}} + \frac{ - \mathrm{sgn}(\omega) \: (\mathrm{A_0} / \tau)}{\sqrt{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}^2+\mathrm{\omega}^2}} \: \mathrm{e}^{\mathrm{\alpha}t} \cos\left[\mathrm{\omega}t+\phi_0 + \arctan\left(\frac{\mathrm{(\alpha + 1/\tau)}}{\mathrm{\omega}}\right) \right] \end{aligned} }$$

El$\mathrm{DC_{offset}}$(fuera del paréntesis exponencial) es una parte de la respuesta forzada. Porque cuando no hay entrada (onda sinusoidal o compensación de CC), solo el voltaje del capacitor inicial afecta el voltaje de salida. Leer ¿Diferencia entre respuesta natural y respuesta forzada? si todavía no entiendes. Además, la función signum se puede omitir ya que la frecuencia angular siempre es positiva. Pero en caso de que quieras jugar con frecuencia negativa, esta forma aún mantiene el resultado integral anterior.

Ahí lo tiene, con este proceso de cálculo, en su pregunta, el desplazamiento de fase es la función arctan anterior. Solo necesita simplificar aún más el resultado integral.

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Simulación

Al usar CircuitLab, haga clic en "editar el esquema anterior" a continuación, haga clic en simular y ejecute la simulación de dominio de tiempo. CircuitLab tiene una funcionalidad limitada, no puede modelar el voltaje inicial del capacitor.

EXP(alpha*t)*SIN(2*pi*f*t+phi_0*180/PI)+DC_offset
EXP(0*T)*SIN(2*PI*4*T+0*180/PI)+0

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Al usar LTspice, vea el archivo .asc en pastebin aquí .

Al usar Desmos, consulte aquí .
Ya lo he comprobado dos veces con LTspice. Informe de nuevo si hay algo mal con él.

Creo que sería mejor usar la siguiente declaración (ya que su circuito es un divisor de voltaje simple):

$$V_{C1} = V_1 \cdot \frac{Z_{C1}}{Z_{C1} + Z_{R1}}$$ Que luego da: $$V_{C1} = V_1 \cdot \frac{(j \omega C_1)^{-1}}{(j \omega C_1)^{-1}+ R_1}$$

Tenga en cuenta que esta es la representación analítica/fasorial de su señal. Con la fórmula de Euler, y después de volver a convertir la ecuación en una señal de "valor real", debería volver a ponerse de pie.