¿Por qué los espejismos solo aparecen en los días calurosos?

Una pregunta anterior preguntó por qué el camino a veces parece mojado en los días calurosos.

La razón es que cuando hay un gradiente de temperatura en el aire, provoca un gradiente en el índice de refracción, lo que hace que la luz se desvíe. Este diagrama (de la respuesta de Lagerbaer a la pregunta anterior) es

Tengo dos preguntas sobre esto.

Primero, Wikipedia dice que para que el efecto aparezca, debe haber un gradiente de temperatura del orden de unos pocos grados por cien metros sobre el asfalto.

Para investigar esta afirmación, supuse que el aire cerca de la superficie del asfalto está a presión constante, por lo que la densidad es inversamente proporcional a la temperatura (es decir, supuse que la variación de densidad debida al peso del aire es pequeña en comparación con la densidad variación inducida por el gradiente de temperatura, de lo contrario veríamos espejismos todo el tiempo.)

Entonces asumí que la diferencia del índice de refracción del aire de uno es proporcional a la densidad, es decir$n = 1 + a\frac{\rho}{\rho_0}$con$n$el índice de refracción del aire,$a$alguna constante adimensional, y$\rho_0$alguna densidad de referencia. Buscando el índice de refracción del aire en línea, supuse$a = 0.0003$.

Entonces asumí que la temperatura sobre la Tierra está modelada por$T = T_0 + gy$con$y$la altura y$g$un gradiente de temperatura en${}^\circ\mathrm C/\mathrm m$.

Esto completa el modelo. El principio de Fermat da un problema variacional para resolver el camino de la luz. Sin embargo, fue difícil trabajar con la ecuación diferencial resultante, por lo que, en primer orden, aproximé que la luz comienza a una distancia horizontal.$x = -L$a la altura$y =h$, desciende hacia el suelo con cierta pendiente$m$hasta que llega a$x=0$, luego vuelve a subir con la misma pendiente$m$hasta que llega a$x = L$y$y = h$de nuevo. Entonces elegí$m$para minimizar el tiempo de viaje de este camino.

A primer pedido para pequeños$h$, Encontré

El problema es que cuando enchufo$g = 5\ \mathrm{^\circ C}/100\ \mathrm m$,$a = 0.0003$,$T_0 = 300\ \mathrm K$, y$L = 100\ \mathrm m$yo obtengo$m = 2.5\times10^{-6}$, que es demasiado pequeño para explicar el espejismo. Solo permitiría que la luz se sumerja un cuarto de milímetro en el camino de un automóvil.$200\ \mathrm m$lejos de mí En la imagen de Wikipedia de un espejismo, la luz claramente desciende al menos 1000 veces más (mira el auto azul).

Así que mi primera pregunta es: ¿qué pasa? ¿Por qué hay espejismos cuando este modelo predice que no los hay?

Mi segundo es: ¿por qué los vemos solo cuando hace calor? Este modelo depende solo débilmente de la temperatura absoluta, y las temperaturas absolutas calientes en realidad disminuyen el efecto. Evidentemente, solo hay gradientes de temperatura altos en los días calurosos, ¿por qué debería ser así? Un gradiente de temperatura sobre el asfalto proviene del sol que calienta el asfalto directamente más de lo que calienta el aire. ¿No debería pasar eso tanto en los días fríos como en los calurosos?