¿Por qué los cuerpos tienden a alcanzar el equilibrio térmico?

Se pueden pensar distintos caminos a partir del equilibrio térmico entre dos cuerpos. En las múltiples posibilidades hay al menos un camino que es reversible, que intentaré describir aquí, pero estoy seguro de que también puedes encontrarlo en los libros de texto. Supongamos que toma dos cuerpos con diferentes temperaturas.$T_1<T_2$yace la temperatura de equilibrio en el medio.

Entonces, un camino reversible del equilibrio térmico es pensar en un número 'infinito' (o en un número muy grande, físicamente hablando) de depósitos térmicos con temperaturas que van desde$T_1$a$T_2$. Ahora, si calientas el primer cuerpo al ponerlo en contacto térmico con un depósito térmico en$T_1+ \delta T$(prácticamente siendo este proceso reversible con el contacto del mismo cuerpo con otro depósito térmico en$T_1$), la entropía varía como

$\delta S_1= \int_{T_1}^{T_1 +\delta T} \frac{dQ}{T} = m_1c_1 \ln \frac{T_1 + \delta T}{T_1}$.

El mismo proceso (pero inverso) se puede hacer con el cuerpo dos,

$\delta S_2= \int_{T_2}^{T_2 -\delta T} \frac{dQ}{T} = m_2c_2 \ln \frac{T_2 - \delta T}{T_2}$.

Repitiendo el procedimiento, el equilibrio térmico se logrará en algún punto con temperatura$T_e$, tal que$T_1 < T_e < T_2$.

Ahora, por simplicidad supongamos$m_1c_1=m_2c_2$, tal que, la variación de entropía total del equilibrio térmico es

$\Delta S_1+\Delta S_2= mc \ln \frac{T_e^2 }{T_1 T_2}$.

Es fácil demostrar que la variación total será máxima cuando$T_e= \frac{T_1+T_2}{2}$.

En resumen: el equilibrio térmico es el estado de máxima entropía del sistema.

(Esto se puede demostrar también cuando$m_1c_ \neq m_2c_2$con un poco más de álgebra...).