¿Por qué las órbitas son elípticas en lugar de circulares?

Suponga que el planeta tiene una masa insignificante en comparación con la estrella, que ambos son esféricamente simétricos (por lo que se cumple la ley de gravitación de Newton, pero esto normalmente sucede con una muy buena aproximación de todos modos), y que no hay ninguna fuerza además de la gravedad entre ellos. . Si la primera condición no se cumple, entonces la aceleración de cada uno va a ser hacia el baricentro del sistema, como si el baricentro les atrajera una fuerza gravitatoria con cierta masa reducida, por lo que el problema es matemáticamente equivalente.

Tome la estrella para estar en el origen. Por la ley de gravitación de Newton, la fuerza es$\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$, dónde$\mathbf{r}$es el vector del planeta,$m$es su masa y$\mu = GM$es el parámetro gravitatorio estándar de la estrella.

Leyes de conservación

Porque la fuerza es puramente radial.$(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$, momento angular$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$se conserva:

$$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$$ Si la velocidad inicial es distinta de cero y la estrella está en el origen, entonces, en términos de la posición inicial y la velocidad, la órbita debe limitarse al plano de todos los puntos con vectores $\mathbf{x}$del origen que satisfacen $\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$. Si la velocidad inicial es cero, entonces el movimiento es puramente radial y podemos tomar cualquiera de los infinitos planos que contienen el baricentro y la posición inicial.

La energía orbital total viene dada por

$$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$$ donde el primer término parte es la energía cinética y el segundo término es la energía potencial gravitacional del planeta. Su conservación, así como el hecho de que invoca la energía potencial correcta, puede demostrarse mediante el teorema fundamental del cálculo de integrales de línea.

Defina el vector de Laplace-Runge-Lenz como

$$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$$ También se conserva: $$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$$

Finalmente, tomemos también$\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$, que tiene las mismas unidades que$\mathbf{r}$, y desde$\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$, se encuentra a lo largo del plano orbital. Como es un vector conservado escalado por un escalar conservado, es fácil demostrar que$\mathbf{f}$se conserva también, mientras$\mathcal{E}\neq 0$.

simplificando

Empleando el triple producto vectorial, podemos escribir

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$$ cuya norma cuadrática es fácil de obtener: $$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$$ dónde $\mathcal{E}$se utilizó en todo momento para cambiar entre términos cinéticos y potenciales.

¿Por qué elipses?

Desde$\mathcal{E}$es energía relativa al infinito, para tener una órbita ligada necesitamos$\mathcal{E}<0$. Así, del apartado anterior,$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$y por lo tanto

$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$$ que define una elipse con focos $\mathbf{0},\,\mathbf{f}$y eje mayor $2a=-m\mu/\mathcal{E}$.

¿Por qué no círculos?

El círculo es un caso especial donde los focos son el mismo punto,$\mathbf{f} = \mathbf{0}$, que se puede reformular como

$$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$$ En otras palabras, las órbitas circulares requieren que la energía orbital sea el negativo de la energía cinética. Esto es posible, pero es casi seguro que no se cumpla exactamente. Dado que cualquier valor de $\mathcal{E}<0$están permitidos para órbitas limitadas, hay muchas más formas de tener órbitas elípticas. (Aunque algunos de ellos se estrellarían porque la estrella y el planeta tienen un tamaño positivo).

Tenga en cuenta que las órbitas hiperbólicas tienen$\mathcal{E}>0$, y todavía podemos encontrar los focos usando el método anterior, aunque teniendo cuidado con los signos. Para$\mathcal{E}=0$, el segundo foco$\mathbf{f}$no está definido porque se trata de una órbita parabólica y las parábolas solo tienen un foco dentro de una distancia finita del centro.

Además, el vector de excentricidad $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$es una opción alternativa para el vector LRL; como sugiere su nombre, su magnitud es la excentricidad orbital.

Es posible que un planeta tenga una órbita circular, un círculo al fin y al cabo es una elipse donde ambos focos están en el mismo lugar; esto se conoce como tener una excentricidad de 0 . La excentricidad se define de la siguiente manera:

$$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$$ dónde $r_{a}$es el apoapsis (el punto más lejano en la órbita desde el centro de masa), y $r_{p}$es el periapsis (la distancia más cercana). Solo para generar algo de intuición aquí, si el apoápside es el doble de la distancia del periápside, la excentricidad será $e=0.333$.

De todos los planetas del sistema solar, Venus , con una excentricidad de 0,007 tiene la órbita más circular.

En cuanto a por qué no todas las órbitas son redondas, se trata de energía cinética . La energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad. En el plano orbital y en coordenadas polares alrededor de la estrella, podemos descomponer esto en una combinación de velocidad radial$\dot{r}$y velocidad angular$\dot{\phi}$:

$$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$$ Dado que los círculos tienen radios constantes, para que la órbita sea circular alrededor de la estrella, la velocidad radial del planeta debe ser exactamente cero. Además, la velocidad angular debe ser tal que la fuerza centrífuga en el marco corrotante equilibre exactamente la fuerza gravitacional: un poco más o un poco menos, el desequilibrio cambiará la velocidad radial, estropeando el círculo.

Dado el hecho de que las velocidades varían por una gran cantidad de razones, no es de extrañar que solo unas pocas órbitas terminen siendo circulares, y considerando que las órbitas reales cambian con el tiempo , sabemos que no pueden permanecer así por mucho tiempo.

Si está buscando una prueba matemática, este enlace comparte algunos detalles al respecto .

Aquí hay una imagen que muestra la excentricidad de algunos cuerpos en el sistema solar extraídos de aquí :

Siempre prefiero las respuestas que tratan de evitar cualquier fórmula y respondo argumentando en su lugar. Con respecto a la parte de la pregunta por qué no todas las órbitas son circulares, una argumentación sería así:

Considere una estrella estacionaria y un planeta en movimiento. Para cada impulso que puede tener el planeta, se puede predecir una curva para su movimiento posterior. Si este impulso se dirige exactamente ortogonalmente a la línea de la estrella al planeta, y si la velocidad tiene la cantidad exacta , entonces esta curva de movimiento puede ser un círculo exacto.

Pero por cada desviación de este impulso exacto, la curva resultante no puede ser un círculo:

• Si la velocidad es demasiado baja, el planeta caerá hacia la estrella (en el caso extremo de un impulso de cero, esta caída será en línea recta).
• Si la velocidad es demasiado alta, el planeta se alejará de la estrella (similar a una honda).
• Si el impulso no es directamente ortogonal a la línea de la estrella, el primer movimiento se moverá hacia o desde la estrella, por lo que nuevamente la curva no será un círculo.

Entonces, uno simplemente puede argumentar que un círculo es un caso muy especial para la curva que un planeta puede tomar alrededor de una estrella.

Esta respuesta se aborda al nivel de la pregunta para estudiantes, no para profesionales. Debido a que los planetas de nuestro sistema solar viajan en círculos cercanos, la gente imagina que de alguna manera es la condición natural. Pero es una pregunta difícil.

Primero, deberíamos imaginar la gravedad como una trompeta vuelta hacia arriba y un planeta como una bola rodando por esa superficie. Dependiendo de la dirección y la velocidad que le des a la pelota, la trayectoria caerá con una tendencia a curvarse hacia adentro pero también acelerará y luego girará y saldrá disparada nuevamente, luego disminuirá la velocidad y volverá a curvarse nuevamente. NO HAY NINGUNA RAZÓN para obtener un buen círculo A MENOS que elija con mucho cuidado su velocidad y dirección inicial. En general, las matemáticas de Newton muestran que obtienes la elipse para la órbita de un planeta individual y el círculo es una elipse especial.

Sin embargo, debido a la forma en que el sistema solar se origina a partir del colapso gravitacional de una nube gigante de gas y polvo, el material tiende a convertirse en un remolino circular muy parecido a un huracán y los planetas se condensan por acreción en trayectorias casi circulares. Las colisiones complejas pueden cambiar todo, pero las trayectorias circulares tienen una probabilidad decente de no cruzarse con otras órbitas circulares, por lo que terminamos con estas y, afortunadamente para nosotros, nuestro sistema cerca de las órbitas circulares es afortunadamente bastante estable y no se desvía mucho de las perturbaciones de otras. planetas en órbitas excéntricas que serían fatales. De hecho, los cálculos detallados muestran que los planetas se ayudan mutuamente a mantener la estabilidad, pero no hay una razón obvia por la que no sea porque no estaríamos aquí.