¿Por qué la velocidad de grupo representa la transmisión de energía o información? ¿Qué relación entre la velocidad de fase y la relatividad especial?

La afirmación "la velocidad de grupo representa la transmisión de energía o información" no es del todo exacta. Y eso es una gran lata de gusanos, de hecho. Pero empecemos desde el principio.

¿Qué es la relación de dispersión?
Supongamos que tiene alguna cantidad$u$eso depende de una coordenada$x$y a tiempo$t$.

Relación de dispersión$\omega(k)$es básicamente una declaración, que si tiene una dependencia coordinada en forma de onda con algún vector de onda$k$:

$$u(x)=Ae^{-ikx},$$ entonces puedes escribir instantáneamente la dependencia del tiempo como $$u(x,t)=Ae^{i\omega(k)t-ikx}.$$

¿Qué pasa si tienes más complejos?$u(x)$?
En ese caso, lo representas como una suma (o una integral) de tales ondas. Eso es lo que llaman "una transformada de Fourier":

$$u(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty a(k)e^{-ikx}dk$$ Usando el principio de superposición, podemos escribir: $$u(x,t) = \int\limits_{-\infty}^\infty a(k)e^{i\omega(k)t-ikx}dk$$ Ahora bien, si asumes que $a(k)$alcanza su punto máximo alrededor de algún vector de onda $k_0$, entonces puede deducir que el paquete de ondas resultante se mueve con una velocidad de grupo. Puedes ver la derivación aquí .

Pero, ¿cómo es esa la velocidad máxima de transferencia de información?
Ese es mi punto. tengamos un$\delta$-señal en$x=0$-- su transformada de Fourier es uniforme en todas las frecuencias:

$$u(x) = \delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ikx}dk$$ Entonces la evolución del tiempo sería: $$u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega(k)t-ikx}dk$$ Y se supone que debemos creer que esta expresión da $u(x,t)=0$para $x>v_gt$lo que $\omega(k)$es.

¿Y eso no es verdad?
Sí. El truco es que si introduces la dispersión y quieres preservar la causalidad, también debes introducir algo de absorción. La absorción se introduce como un componente complejo de$\omega(k)$y las relaciones entre componentes reales y complejas (dispersión y absorción) se denominan relaciones de Kramers Kronig .

Consulte esta referencia del wiki para obtener una descripción formal de los detalles de cómo se relaciona la causalidad con esas leyes de dispersión-absorción.

Si tenemos una onda de dirección y frecuencia bien definidas, la dependencia del campo$F$(algo que está ondeando) en la posición y el tiempo es

$$F = F_0 \cos (\omega t - k_x x - k_y y - k_z z )$$ Los físicos adultos usarían exponenciales complejos en lugar del coseno, pero decidí eliminar esta pieza matemática potencialmente difícil.

El argumento del coseno módulo$2\pi$es la "fase". La velocidad de grupo se extrae de esta fase. En el espacio-tiempo, se dibujan las hipersuperficies de fase constante, es decir

$$\omega t = \vec k \cdot \vec x$$ en un fijo $t$, esta es una ecuación de un plano. Si observamos lo que sucede con este avión a medida que pasa el tiempo, se mueve en la dirección transversal y la velocidad del movimiento de este avión es $$v_{ph} = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega }{ k}$$ Eso se llama velocidad de fase porque la calculamos a partir de la fase (observando en qué lugares la fase es constante y cómo se mueven estos lugares en el tiempo).

En general, la velocidad de fase puede exceder la velocidad de la luz porque lo que realmente se propaga por la velocidad de fase es "el plano en el que la fase es constante", pero este plano no es un objeto físico real que transporta información. Es solo un lugar ficticio en el espacio definido por una propiedad matemática, "fase constante".

El hecho de que la velocidad de fase pueda exceder$c$es análoga a la observación de que si nos sentamos en el centro de una gran esfera hueca con una lámpara y giramos la lámpara, el rastro iluminado de la lámpara en la superficie interior distante de la esfera puede moverse más rápido que$c$(Lo hace con seguridad si el radio de la esfera es lo suficientemente grande). Pero no estamos transmitiendo nada de un lugar de la superficie a otro. En cambio, la luz va desde el centro hacia los distintos puntos de la superficie.

Por otro lado, la velocidad de grupo mide la propagación real de los objetos materiales. Podemos crear un "paquete de ondas" combinando frecuencias cercanas. Es posible deducir que el centro de tal paquete de ondas se propagará por la velocidad de grupo

$$v_g = \frac{d\omega}{dk}$$ y debido a que este paquete es un objeto localizado que puede transportar información, la relatividad prohíbe $v_g$exceder la velocidad de la luz en el vacío $c$.