¿Cómo se formula la conservación de la energía para las ondas electromagnéticas?

Creo que la confusión aquí es mucho más simple. Pídale a un amigo que aplauda una vez por segundo y que se pare cerca. Cada segundo, escucharás un aplauso seguido de un silencio. Eso significa que la energía de las ondas de sonido en tu oído aumentará cada segundo y luego disminuirá. ¿Significa eso que la energía está 'apareciendo y desapareciendo'? Por supuesto que no; solo está de paso.

De manera similar, para una onda electromagnética plana, los campos oscilan en el espacio,

$$E(x, t) \propto B(x, t) \propto \cos(kx-\omega t)$$ lo que significa que en todo momento, la distribución de energía se ve como $\cos^2(kx - \phi)$para alguna fase $\phi$. Es decir, la energía de las ondas viene en bultos regulares, al igual que la energía en las ondas sonoras que produce tu amigo que aplaude. (Estos bultos no tienen absolutamente nada que ver con los fotones). Entonces, la densidad de energía en un punto puede, por supuesto, subir y bajar a medida que pasan los bultos.

La energía del campo electromagnético en un volumen.$V$es dado por

$$U=\iiint_{V}\left(\frac{\varepsilon_{0}|E|^2}{2}+\frac{|B|^2}{2\mu_{0}}\right)dV$$ y el vector de puntos se define como $$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{\mu_{0}}$$ Este no es un valor promedio, sino una cantidad dependiente del tiempo que codifica el flujo de energía del campo electromagnético. La conservación de la energía es entonces el enunciado $$\frac{\partial U}{\partial t}=-\iint_{\partial V}\vec{S}\cdot\vec{dA}$$ lo que significa que el cambio en la energía de los campos en un volumen $V$va acompañado de un flujo de entrada/salida de ese volumen. Esta ecuación es válida para todos los tiempos y describe valores instantáneos y no promedios.

La conservación aquí es una declaración sobre cambios , en lugar de solo sobre valores en un momento dado. Por lo tanto, está bien que ambos campos desaparezcan simultáneamente, siempre que aparezcan en otro lugar o tengan 'inercia' en algún sentido. Lo mismo sucede con una cuerda: en algunos momentos es plana, pero tiene energía en forma de velocidad distinta de cero.

La noción precisa de conservación en la teoría de campos viene dada por el concepto de corriente conservada , es decir, un tensor$j^\mu$satisfactorio

$$\partial_\mu j^\mu=0$$

Integrando esta ecuación y aplicando el teorema de Stokes, se obtiene

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_V j^0\mathrm dV=\int_{\partial V} j^i\mathrm d\sigma_i$$ lo que te dice que el cambio en el tiempo de la densidad integrada $j^0$es igual al flujo de $\boldsymbol j$dejando el volumen de integración. En este sentido, y sólo en este sentido, es una corriente teórica de campo $j^\mu$conservado.

Se dice que esta noción de conservación es local . Una ley de conservación global simplemente te dice que la cantidad total de algo no cambia con el tiempo; la ley de conservación local, en cambio, es mucho más restrictiva: te dice que se conserva en cada región del espacio. Si, por ejemplo, de la nada aparece un dipolo eléctrico, esto satisfaría la conservación global de la carga, pero no la local. Pero la naturaleza conserva la carga localmente, por lo que tal fenómeno no está permitido por las leyes de la física. Feynman destaca muy bien esto en esta conferencia suya .

En el caso de la conservación de la energía, la corriente es el llamado tensor de energía-momento,$T^{\mu\nu}$, dónde$T^{00}$debe pensarse como una densidad de energía, y$T^{0i}$como el flujo de energía a través de la superficie ortogonal a$x^i$.

En el caso de la electrodinámica de vacío,

$$T^{\mu \nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} \eta_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} \eta^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right)$$ y se ve fácilmente que su conservación es una consecuencia directa de las ecuaciones de Maxwell. Así, la energía electromagnética de cualquier sistema se conserva localmente: se conserva en cada región del espacio, independientemente de su tamaño y contenido. Ver también esta publicación de PSE .

He tenido los mismos pensamientos al ver el campo electromagnético independientemente de su fuente:

donde los campos mismos disminuyen a cero en los momentos apropiados debido a la frecuencia. Eso sí, el vector de Poynting se deriva como una conservación de la energía entre la generación de cargas y las ondas electromagnéticas .

Editar después de leer la respuesta de knzhou :

Si en la animación tomamos un área perpendicular a la onda viajera, vemos que la energía en esa área se propaga con velocidad c, y la variación sinusoidal de la energía de los planos consecuentes depende de la forma en que las cargas generadoras crearon la onda como un función del tiempo.

Esto queda claro en el marco cuántico donde se puede demostrar que el campo electromagnético emerge de la superposición de un enorme conjunto de fotones.

Existe una función de onda que describe un fotón.

La superposición (no la interacción) de estas funciones de onda construye las funciones de campo eléctrico y magnético que se ven en la animación de arriba. En el área perpendicular a la dirección de la onda, la energía de los fotones se propaga con velocidad c. La energía es transportada por los fotones individuales como h*nu, la manifestación del campo E y B es la superposición de todas las funciones de onda de los fotones en esa área (en realidad, por la incertidumbre de Heisenberg, debería ser un volumen, pero no lo compliquemos más) . Las siguientes áreas pueden tener diferente energía.

Me gusta esta ilustración de cómo los fotones pueden construir una onda electromagnética polarizada, las visualizaciones me ayudan.