He visto la derivación del equilibrio térmico de Einstein que , pero intuitivamente esperaría que la tasa de decaimiento espontáneo como .
En otras palabras, esperaría que la tasa de decaimiento espontáneo sea inversamente proporcional al tiempo de vida del estado, que está relacionado con la incertidumbre de la energía del estado. Entonces, ¿de dónde viene la relación al cubo?
En el espíritu de la regla de oro de Fermi, la tasa de transición (probabilidad por unidad de tiempo) es proporcional al elemento de la matriz de la transición y la densidad de estados en el estado final. Lo que escribió es cierto para el elemento de la matriz, pero la tasa de descomposición espontánea se acompaña de la emisión de un fotón. En otras palabras, no es solo que tienes que poder tener una transición óptica, es que también tienes que tener espacio donde emitir este fotón. Entonces, también debe tener en cuenta la densidad de espacio libre de los estados de los fotones.
Hay varias derivaciones para este último (la que generalmente se enseña implica considerar una caja rectangular y luego extenderla a una infinitamente grande mientras se cuentan las ondas estacionarias como modos de fotones en ella), pero de todos modos, el número de fotones en energía es proporcional a , por lo que su densidad de estados es la derivada y, por lo tanto, proporcional a . Juntos con del elemento matriz, esto da en la tarifa global.