¿Por qué la longitud de onda de la luz debe ser menor que la incertidumbre en la posición?

Se debe a que la longitud de onda se utiliza como criterio para medir el objeto (en realidad, la incertidumbre en su posición). Puede medir un objeto de 10 metros con una regla de un metro, pero no puede medir un objeto de 10 cm con la regla de un metro (suponiendo que no haya marcas en la regla)

Cuando quieres medir la ubicación de un objeto arrojándole luz y observando lo que regresa hacia ti, en realidad estás midiendo la intensidad de la luz que proviene de diferentes posiciones (nuestros ojos son un ejemplo de un aparato que puede medir este patrón de intensidad , aunque en este caso los ojos miden la intensidad de la luz procedente de diferentes direcciones y el cerebro la interpreta en términos de posiciones).

Un criterio válido para afirmar que una partícula está localizada en alguna posición es exigir que el patrón de intensidad que recibe alcance su punto máximo alrededor de esa posición. Idealmente, el pico tendría que ser muy nítido para que esté extremadamente seguro de que la partícula está en esa posición. Sin embargo, imagina que el pico no fuera tan nítido, sino que fuera algo así como el perfil de una montaña (o una distribución gaussiana). Entonces, la incertidumbre de dónde está exactamente la partícula estaría dada por alguna medida de qué tan extendido fue el patrón de intensidad (como el ancho de la montaña).

Ahora bien, ¿cómo se puede obtener un patrón de intensidad marcadamente pico? Considere arrojar luz de longitud de onda muy larga. Cada una de las crestas de las ondas es casi constante en el espacio, por lo que el patrón que recibirá después de que la partícula las refleje será también muy amplio. Por lo tanto, incluso si recibe muchos de ellos simultáneamente, sumarlos no creará un pico agudo (es como decir que sumar funciones casi constantes puede crear una función de pico agudo). Por el contrario, si su longitud de onda es corta, cada una de las crestas de onda fluctúa rápidamente en el espacio, por lo que el patrón de intensidad de cada una de ellas también fluctuará mucho. Entonces, sumándolos, en realidad puede recibir un pico agudo (esta es en realidad la descomposición de Fourier de un pico agudo, donde contribuyen principalmente los modos de alta frecuencia).

Más cuantitativamente, si está utilizando luz de longitud de onda$\lambda$, puede mostrar matemáticamente (usando la descomposición del modo de Fourier) que el ancho del pico más agudo que puede construir es en realidad$\lambda$.

Toda esta explicación es sin mencionar la mecánica cuántica, donde la luz se cuantiza en fotones. Einstein descubrió que tienen impulso$p \sim \lambda^{-1}$, por lo que, según el principio de incertidumbre, de ninguna manera puede localizar un fotón con una incertidumbre inferior a$\lambda$.

La luz será difractada por el objeto y, digamos, proyectada en una regla. El alcance angular de la luz difractada es proporcional a$\frac{\lambda}{\Delta X}$. Le gustaría que esta relación sea pequeña para una mayor precisión.

Esta puede no ser la respuesta esperada, sin embargo, no es cierto si tiene una fuente de luz que tiene un ancho de banda muy estrecho y es estable.

Puede interpolar entre franjas en un interferómetro. Por ejemplo, un interferómetro láser comercial que utiliza una fuente de 633 nm puede lograr una resolución de 1 nm.

Incluso si simplemente hace rebotar la luz en el objeto, la ruta de ida y vuelta cambia 2λ por cada λ que mueve el objeto.

Hay técnicas adicionales y alternativas que pueden mejorar eso considerablemente.