El problema no es exclusivo de la ecuación de Schrödinger, es una característica común de las ecuaciones diferenciales. Lo mismo sucede en todas partes en la electromagnética clásica. Pero también es engañoso decir que no hay una solución "exacta". Es más cierto decir que la solución no puede expresarse finitamente en ciertas notaciones.

Hay teoremas como el teorema de Picard Lindelof que aseguran la existencia de soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales, pero estos teoremas no conducen a expresiones finitas usando funciones comunes para estas soluciones. Hay algunas ecuaciones que se pueden resolver de forma genérica mediante polinomios. Sin embargo, la simple ecuación$\dot{x}=x$no es uno de ellos. Esta ecuación define la función exponencial (que también puede ser definida por una suma infinita). Efectivamente, cuando$\exp(x)$se utiliza, sólo significa la solución a esta ecuación.

Las ecuaciones diferenciales más complicadas requieren más funciones nuevas, por ejemplo, las funciones trigonométricas elípticas. Esto simplemente continúa. No existe una lista finita de funciones cuyas combinaciones resolverán todas las ecuaciones diferenciales. Cuando una función definida como la solución de una ecuación diferencial se usa con bastante frecuencia, le damos un nombre y continuamos.

Esta es una gran área de estudio en soluciones formales de cualquier tipo de ecuación:

http://mathworld.wolfram.com/Closed-FormSolution.html

Ninguna de esas son realmente "buenas" respuestas. estaré de acuerdo Además, en realidad es más una cuestión que termina tocando a las metamatemáticas que a la física.

No estoy realmente seguro de que se pueda aducir una razón específica, aparte de la razón muy general de que las ecuaciones adecuadamente complejas no se pueden resolver exactamente como un principio general. Pero creo que la explicación a continuación, aunque no es una respuesta sólida o firme, es probable que sea suficiente.

Una forma en que puede pensar es que solo hay un número finito de operaciones que tenemos para expresar soluciones a ecuaciones, pero un número infinito de posibles funciones de solución reales, aunque no creo que eso lo entienda bien, ya sea porque usted puede combinar las funciones "expresivas" en un número infinito de formas. Quizás una mejor manera de decirlo es que cuando vamos a resolver ecuaciones "exactamente" de lo que estamos hablando es expresarlas en términos de la composición de un número limitado de funciones "base" que consideramos "aceptables" - casi siempre esto incluye y es al menos las funciones elementales , que son las compuestas por las funciones constantes, las cuatro operaciones aritméticas (+, -, *, /), y las exponenciales ($\exp$) y logarítmica ($\log$) funciona sobre el campo complejo ($\mathbb{C}$), y la clausura de este conjunto se toma bajo composición funcional ($\circ$). También podemos incluir algunas funciones "especiales" no elementales, así como la función gamma ($\Gamma$) o función de error ($\mathrm{erf}$, la integral de la Gaussiana).

Y efectivamente lo que ocurre es que éstas no nos proporcionan suficientes "grados de libertad", por así decirlo, para expresar todas las funciones de adecuada generalidad. Si bien no estoy seguro de un resultado que pruebe esto para el operador de composición general , un resultado muy similar a lo largo de esta línea es el hecho de que el espacio de todas las funciones diferenciables (digamos), como las que resultan como soluciones a una ecuación diferencial como Schrodinger - es algebraicamente de dimensión infinita, es decir, el cardinal de cualquier base de Hamel es infinito, lo que significa que si queremos expresar cualquier función diferenciable como una combinación lineal

de funciones base$f_j$, entonces en realidad necesitamos un conjunto base con infinitas funciones independientes, podemos extraer el$f_j$from (es decir, no se pueden expresar en términos de cada uno) para poder tener suficiente poder de expresión para expresar cada función diferenciable$f$de esta manera (Tal conjunto se llama base de Hamel). Para la teoría cuántica de los átomos, esto es aún más directo, es la dimensionalidad infinita del espacio de Hilbert.

Del mismo modo, sospecho firmemente que sucede algo similar cuando también permitimos la composición general: no nos proporciona suficiente poder, pero no conozco una prueba.

Sin embargo, esto no responde realmente a la pregunta de por qué un conjunto más restringido de funciones, como las soluciones de un tipo específico de ecuación diferencial, y en particular sus vectores propios , no se pueden expresar con una composición adecuada de un " agradable" conjunto de funciones base. Después de todo, se sabe que las ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante tienen un conjunto de soluciones completamente expresable. Muchas otras ecuaciones diferenciales muy específicas tienen conjuntos similares. Aunque, un punto clave puede ser que la ecuación de Schrödinger ofrece efectivamente una libertad infinita a través de la elección de la función potencial$U(\mathbf{r})$, y más generalmente su operador hamiltoniano $\hat{H}$.

Dicho esto, con un conjunto de parámetros muy restringido, digamos átomos muy específicamente, de hecho puede haber un conjunto de funciones finito o infinito que se puede describir fácilmente que puede proporcionar un conjunto base adecuado. Simplemente, hasta el momento, no sabemos qué son las "funciones atómicas" o cómo describirlas.

La cuestión de si existe una solución analítica para un sistema dinámico dado o PDE se denomina " integrabilidad ". Este es un concepto notoriamente resbaladizo, con muy pocas ideas útiles y rigurosas. Sin embargo, hay un resultado extremadamente importante (muy relevante para la presente pregunta) en esta área: El Teorema KAM .

Una de las consecuencias del teorema KAM es que, en general, un problema clásico de tres cuerpos puede exhibir un comportamiento caótico .. Esto puede interpretarse como una especie de "prueba" de que el problema clásico de los tres cuerpos no tiene una solución analítica general en ningún sentido útil, es decir, no es integrable. El razonamiento detrás de esta interpretación es que cualquier fórmula que pueda escribir debe tener una "complejidad finita", porque el hecho mismo de que pueda escribirla requiere esto; sin embargo, para especificar el movimiento de un sistema caótico, necesita "información infinita", porque incluso una perturbación arbitrariamente pequeña en el estado del sistema produce desviaciones salvajes en la trayectoria. Esta no es una "prueba" en el sentido riguroso habitual, porque nadie tiene una definición realmente buena de lo que significa ser una "solución analítica". Pero puede estar bastante seguro de que para cualquier definición de "solución analítica" que pueda inventar,$^*$.

Ahora, el caso cuántico no puede ser mejor que el clásico, porque en el límite clásico (es decir, grandes masas y números cuánticos, tomar valores esperados, etc.), se recupera el comportamiento clásico. Por lo tanto, la "prueba" de que no existe una solución analítica para el problema clásico de los tres cuerpos implica lo mismo para el problema cuántico de los tres cuerpos, es decir, el átomo de Helio.

$*$Tenga en cuenta que hay algunos casos especiales (correspondientes a proporciones de masa particulares) del problema de los tres cuerpos que permiten soluciones analíticas. Ver "Mecánica Clásica" de Goldstein para más detalles. No sé si existen casos especiales similares del átomo de Helio que sean solucionables, y me interesaría mucho saber si alguien tiene detalles.

¿Por qué esperarías que hubiera una solución? Si solo considera las PDE aleatorias complicadas, la mayoría de ellas no tienen soluciones "agradables", entonces, ¿por qué sería tan especial un átomo de múltiples electrones? Sospecho que está buscando un tipo de respuesta que puede no existir para la pregunta en cuestión. La respuesta más literal es simplemente el hecho de la fuerza bruta de que parece que las buenas soluciones no existen (aunque quizás algún día alguien encuentre otra buena solución).

Si desea ponerse ondulado a mano, podría decir que la PDE es "demasiado complicada" y señalar la parte que, si se elimina, produciría una ecuación solucionable (las interacciones electrón-electrón). Sin embargo, también hay muchas ecuaciones "simples" que tampoco tienen soluciones "agradables", como un potencial lineal simple$V\{x\}=x$(las soluciones son las funciones aireadas no agradables), que podría decirse que es mucho más "simple" que el oscilador armónico o un potencial de un solo átomo. Por lo tanto, evitaría las explicaciones onduladas a mano aquí.

Una forma de abordar este problema es considerar expansiones de series de alto orden y usarlas para estudiar las propiedades analíticas de la función exacta usando, por ejemplo, métodos de resumen. En el caso del átomo de helio, multiplicas el término de interacción por un factor$g$y estudiar la expansión en serie en potencias de$g$.

Con suficientes términos, los polos y puntos de ramificación de la función en el plano complejo se pueden encontrar con una buena aproximación, esto le da pistas sobre si la estructura global de estas singularidades es compatible con una expresión finita que involucra funciones analíticas arbitrarias. Rodney Baxter ha usado tales métodos para argumentar que ciertos modelos en mecánica estadística no son exactamente solucionables.

Otra forma es aplicar el método diferencial aproximado a la expansión de la serie. Aquí escribe una ecuación diferencial lineal no homogénea general con coeficientes polinómicos para algún orden finito y grados de los polinomios con coeficientes indeterminados y resuelve los coeficientes que hacen que la expansión de la serie sea una solución. Entonces aparece una solución exacta como una ecuación diferencial cuyos coeficientes están determinados por el primer$N$coeficientes de la expansión en serie, pero tal que la expansión en serie con$M>N$términos sigue satisfaciendo esa ecuación diferencial.

Las funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden finito con coeficientes polinómicos se denominan funciones D-finitas, pero no todas las funciones analíticas son D-finitas (por ejemplo, las funciones Gamma no son D-finitas). Por lo tanto, este método no es tan poderoso como el método anterior, pero uno puede generalizar este método para ver si una función pertenece a la clase más grande de funciones algebraicas diferenciales, vea, por ejemplo, aquí para un estudio de este tipo.

Estoy seguro de que su pregunta es, de hecho, más sobre matemáticas que sobre física.

Versión TL;DR: cualquiera que esté considerando intentar una solución analítica ve rápidamente que, en el mejor de los casos, puede esperar una integral de una serie de potencias de forma no cerrada y no lo intenta.

El modelo clásico del átomo de helio tampoco tiene solución cerrada. Es una instancia del problema de los tres cuerpos . (Esto no es del todo cierto: la configuración de energía mínima se puede resolver en la física clásica).

Las soluciones clásicas de los orbitales atómicos existen ocasionalmente como series de potencias, pero las matemáticas funcionan de tal manera que los orbitales solubles tienen probabilidad cero; sin embargo, la interferencia de la forma de onda cuántica puede permitir que sean los elegidos de todos modos. La ruta de ataque para obtener soluciones de forma cerrada para los orbitales sería aplicar la ecuación de Schrödinger a la forma clásica de todos los niveles de energía. (La mayoría de las órbitas no se repiten, por lo que aquí debe usar la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo).

Sin embargo, tendrá que integrar la forma de onda para obtener una función de probabilidad, y está comenzando desde algo que ya es una serie de potencias. Teorema matemático: si la función no existe en forma cerrada, tampoco existe su integral.

Estoy bastante seguro de que alguien me dirá que no puedes usar la mecánica orbital para manejar electrones alrededor del átomo. De hecho puedes, pero hay una sorpresa. Hay cuatro órbitas en cualquier plano dado para cualquier nivel de energía dado, excepto la más baja para la cual solo hay dos. Esto se debe a que la energía de la velocidad orbital se vuelve comparable a la energía del pozo de energía en la escala atómica. El polo central está en +INF en lugar de -INF para un objeto en órbita. Normalmente no podemos observar este efecto.

No me he molestado en comprobar si el número de grados de libertad permitido por las órbitas de resonancia en tres dimensiones concuerda con el número de grados de libertad en las soluciones cuánticas para el átomo. No puedo pensar en una sola razón para que me importe.

El mayor problema para muchos sistemas de electrones es que tienes que lidiar con la correlación. Esto significa que el comportamiento de un electrón no se puede capturar con un solo orbital. En cambio, muchos de los llamados determinantes de Slater forman la función de onda.

Sin embargo, los químicos cuánticos han ideado métodos para resolver las ecuaciones de Schrödinger y Dirac con gran precisión para átomos y moléculas. Las soluciones no están en forma cerrada, sino que son expansiones de determinantes de Slater construidas a partir de funciones de base gaussianas.

Las soluciones exactas solo están disponibles para los sistemas más simples. Para los átomos, la razón es la correlación ee y también los efectos radiativos, que requieren QFT. Para sistemas más complejos se añade la complejidad del movimiento nuclear.