¿Por qué la cuerda rasgueada con el dedo suena diferente a la rasgueada con púa?

Por una sugerencia, estoy convirtiendo mi comentario en una respuesta.

ADVERTENCIA: matemáticas por delante

(Oh-oh, parece que Music.SE no es compatible con MathJAX; voy a seguir adelante y publicar el código TeX de todos modos e intentar explicarlo en un lenguaje sencillo en el camino. También agregué una meta solicitud para ver si no podemos solucionar el problema de MathJAX).

Descontando la falta de armonía debida a la rigidez a la flexión de la cuerda y descontando el comportamiento de amortiguación, el comportamiento de una cuerda de guitarra se puede modelar como un problema de valor inicial unidimensional (ecuación diferencial parcial en el espacio y el tiempo con condiciones iniciales y de contorno).

$$
\frac{\partial^2 u }{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \\
u(0,t) = u(L,t) = 0 \\
u(x,0) = g(x) \\
\frac{\partial}{\partial t} u(x,0) = 0
$$

En Inglés:

Primera línea: la aceleración de cualquier trozo particular de cuerda es proporcional a la curvatura local.

Segunda línea: Los dos extremos de la cuerda están fijos.

Tercera línea: en el momento del lanzamiento, la cuerda se tira de una forma particular.

Cuarta línea: simplemente se tira de la cuerda hasta darle una forma y se la suelta; el "desplumador" no imparte ninguna velocidad a la cuerda (es decir, está tirando y soltando, no "lanzando" o "empujando" la cuerda).

La solución a esta ecuación realmente no se puede escribir en forma cerrada para un problema acotado. En cambio, el comportamiento generalmente consiste en una combinación lineal de funciones propias, que son de la forma

$$
u(x,t) = \sum_{n} k_n \cos \left(\frac{n \pi x}{2L}\right) \cos \left(\frac{n \pi ct}{2L}\right)
$$

Si puede ver a través de este código TeX o Music.SE habilita MathJAX, aquellos que tienen inclinaciones matemáticas deberían reconocer esto simplemente como una suma ponderada de los armónicos de la frecuencia fundamental $c$.

¿Qué significa todo eso?

El sonido que escuchas es simplemente una función de los diferentes valores de $k_n$ (donde $n$ es el número de cada armónico). Esos valores son simplemente los coeficientes de Fourier de la forma inicial de la cuerda de la guitarra en el momento exacto del lanzamiento.

Te ahorraré los cálculos matemáticos sobre esto, pero en general, la regla general es que cuanto más "puntiaguda" sea la forma inicial, más altos serán los valores de $k_n$ para valores grandes de $n$ y más brillante será el sonido. Cuanto más redonda sea la forma, más pequeños serán esos valores y más apagado será el sonido.

Ok, pero ¿cómo vuelve este círculo a recogido vs dedo?

En pocas palabras, la púa es más rígida que tu dedo y tiene una punta más afilada que tu dedo. Si observa la forma inicial en el momento exacto del lanzamiento, la cuerda punteada llegará a un punto más agudo que una cuerda punteada con los dedos. Se aplican las reglas $k_n$ anteriores, y el resto es solo matemática.

¿Qué pasa con las suposiciones?

Las cuerdas gruesas de guitarra tendrán un término de inarmonía proporcional a la cuarta derivada espacial del desplazamiento. Esto complica seriamente la apariencia de la solución, cuyo resultado final es que los armónicos de mayor nivel no son múltiplos exactos de la frecuencia fundamental. A los efectos de responder a esta pregunta, esto es irrelevante.

También hay términos de amortiguamiento proporcionales a la velocidad de la cuerda (primera vez derivada del desplazamiento) para amortiguamiento viscoso, y proporcionales al cuadrado de la velocidad de la cuerda para amortiguamiento aerodinámico. El efecto general de estos términos es que el valor $k_n$ de cada armónico se desvanece a cero con el tiempo, y los armónicos más altos se desvanecen más rápido que los armónicos más bajos. Una vez más, a los efectos de responder a esta pregunta, esto es irrelevante.

La razón de la diferencia en el sonido es que la liberación de la cuerda de la púa es más rápida que con los dedos, lo que significa que se amortiguan menos armónicos superiores cuando se suelta la cuerda. Esto le da a la selección un sonido más brillante que los dedos.

La diferencia se debe a la diferente forma del implemento de desplume. Una manera fácil de verificar esto en casa es tomar tu púa (del mismo material y grosor) y tocar las cuerdas con la parte posterior o lateral de la púa. El tono será diferente debido al diferente perfil de la púa (puntiaguda versus redondeada).

Además, el grosor del dispositivo de desplumado marca la diferencia.

El vínculo principal entre la forma y el grosor del dispositivo de punteo y el cambio de tono es la diferencia en el desplazamiento inicial de la cuerda:

Citando (énfasis mío):

Tocar con un objeto afilado como una púa acentúa los armónicos más altos en contraste con tocar con el dedo o con un objeto blando. Esto se debe a que el desplazamiento inicial tiene una forma muy angular . Para lograr tal curva de desplazamiento... se deben introducir muchos modos de orden superior, lo que no habría sido el caso si la curva hubiera sido más redondeada

^{La guía del músico sobre acústica , Campbell & Greated, 1994}

Un instrumento de punteo más redondeado y/o más suave produce un desplazamiento de cuerda inicial más redondeado que excita menos armónicos altos en el movimiento resultante de la cuerda.

Con respecto a la diferencia de grosor entre la púa y el dedo (o entre diferentes púas), ya tenemos una pregunta y respuesta aquí: ¿Por qué las púas de guitarra más gruesas dan como resultado un color de tono más oscuro?

Citando la respuesta aceptada a la pregunta anterior:

Las púas más gruesas (tienden a) permanecer en contacto con la cuerda por más tiempo. El impulso proporcionado a la cuerda es de mayor duración. Un pulso de mayor duración imparte más frecuencias bajas y menos contenido de frecuencias altas.

Ver: http://acoustics.org/pressroom/httpdocs/160th/carral.html

Como complemento a las otras respuestas, aquí está el espectro de frecuencia de una cuerda E baja abierta de una guitarra eléctrica (una Squier strat con un puente humbucker), rasgueada con la parte carnosa del dedo, arrancada con una uña y punteada con un plectro (un Dunlop Delrin-500 .71mm). Toqué cada nota un par de veces y luego seleccioné una que sonaba representativa y tenía un volumen algo igual.

Para la fase de ataque usé los primeros 250 ms de la nota, para la fase de sustain usé la parte de 1 a 1.5 segundos. El gráfico muestra el nivel en dB de frecuencias de 50 Hz a 15 kHz en una escala logarítmica.

^{No hago ninguna afirmación sobre cuán científico es esto, pero es mejor que mirar la radiación de cuerpo negro de una bombilla incandescente :-)}

Creo que es justo decir que hay una clara diferencia en el espectro de la nota púa; los armónicos hasta alrededor de 10 son de amplitud comparable, mientras que en la nota punteada con los dedos los primeros tres armónicos dominan claramente el sonido. Las frecuencias entre 1 y 2 kHz también son más prominentes, y los valles alrededor de 2,5, 6 y 10 kHz son más estrechos y casi desaparecen en la fase de ataque.

Buenas respuestas, pero son incompletas o muy técnicas.

La respuesta simple es que la forma y la rigidez de su dedo son diferentes de la forma y la rigidez de la púa. Para esta descripción, supongamos que el pico es un único punto infinitamente duro que suelta la cuerda instantáneamente. En realidad, una púa es un borde, como un pequeño arco de violín, pero eso puede ignorarse si lo comparas con un dedo.

En comparación, su dedo tiene una forma suave y redonda. Cuando suelta la cuerda, la cuerda se desliza por la superficie del dedo. Imagina que pasas un círculo de papel de lija por la cuerda. Cada uno de los granos proporcionaría una pequeña cosecha. De manera similar, su dedo también envía muchos punteos (ondas) microscópicos a lo largo de la cuerda.

A diferencia de una púa, estas ondas tendrán orígenes que tienen todo el ancho de su dedo y eso alterará ligeramente los armónicos que producen.

Tu dedo también es suave. Esto significa que cualquier ola que se encuentre en medio del punteo será absorbida por la superficie de su dedo, disminuyendo la fuerza de la ola a medida que viaja por la cuerda. Este es un efecto mucho más pequeño que el que obtienes cuando colocas un dedo sobre la cuerda en un traste para aislar un armónico, pero aún se nota en el sonido resultante.

La combinación de estos factores da como resultado un desenfoque del tono que se produce. Aunque no tan extremo, el efecto de audio se puede comparar con el efecto visual de las diferencias entre el espectro puntiagudo que produce una bombilla fluorescente

y el suave espectro de radiación de cuerpo negro que obtienes de una bombilla incandescente.

Otro factor que aún no se menciona es la dirección en la que viaja la cuerda cuando sale del apéndice o implemento de desplume. Las cuerdas de guitarra admiten dos modos principales de vibración: paralelo al cuerpo y perpendicular a él, y la frecuencia de resonancia en estos modos se verá influenciada de manera diferente por la forma de los puntos de contacto en la cejilla, los trastes y las monturas, y (por eléctricos) por las camionetas. Parte de la "calidez" del sonido de una guitarra proviene de la interacción de estas vibraciones a medida que entran y salen de fase, y la dirección inicial del movimiento influirá en ese comportamiento.

Por cierto, en una guitarra eléctrica, este efecto puede demostrarse en un grado un tanto extremo elevando excesivamente la pastilla del mástil y luego tocando notas altas en el diapasón. En una de mis guitarras, hacer eso puede hacer que una sola cuerda toque dos tonos simultáneamente separados por más de un semitono. Tener los tonos de los modos tan separados probablemente no sería útil musicalmente, pero demuestra su existencia e independencia.

Es porque las yemas de los dedos son almohadillas carnosas que cubren huesos duros. Cuando golpean la cuerda y la sueltan, no hay una separación fuerte, y tu piel silencia y amortigua un poco la cuerda. La piel es elástica y se comprimirá un poco al golpear la cuerda, en lugar de simplemente empujarla más directamente. Cuando sale de la cuerda, se descomprime un poco, por lo que "se queda atrás" un breve momento (milisegundos) y amortigua la vibración de la cuerda.

Mientras tanto, la púa suele ser de plástico rígido, no muy elástico (aunque venden diferentes rigideces de púa). En cualquier caso, no es tan elástica como la piel.

Cuando la púa tira de la cuerda, es una superficie más pequeña y rígida la que golpea la cuerda. Cuando se suelta, la púa no rebota (tanto como lo hace la piel de la yema del dedo) y la cuerda puede vibrar libremente.

Puedes demostrarte estos principios jugando con los dedos con guantes gruesos de algodón. El algodón es aún más elástico y amortiguará aún más el sonido.

Luego intente tocar con púas para los dedos (lo que suelen usar los que tocan el banjo, para mantener el sonido brillante y sin amortiguar). En lugar de piel elástica golpeando la cuerda, ahora es plástico rígido. Sonará más como una cuerda pulsada con una púa de guitarra.

El sonido es causado por vibraciones, y la forma en que algo vibra depende de lo que lo golpea. Golpea una pared con los nudillos y luego con un martillo. Sonarán diferentes porque las propiedades físicas de un nudillo son muy diferentes a las de un martillo. Esto dará como resultado una diferencia en la forma en que la fuerza se propaga a través del otro medio (la pared) y, por lo tanto, hará que los átomos de la pared vibren de manera diferente. Asimismo, una cuerda vibrará de manera diferente dependiendo de las propiedades físicas del objeto que la golpea.

La razón exacta por la que los átomos en la cuerda vibran de la manera en que lo hacen puede ser la velocidad de liberación, pero hay muchos factores que pueden causar ligeras diferencias en la vibración resultante que pueden o no ser audibles para los humanos.