¿Por qué la corriente en un circuito eléctrico es constante?

Supongamos que tenemos en la electricidad estática dos cargas negativa y positiva iguales en valor absoluto y ponemos electrones a lo largo del camino entre ellos, sabemos que la fuerza o campo eléctrico es diferente de un punto a otro entre ellos debido a la distancia según la ley de colombina y dado que la fuerza es diferente, entonces cada electrón tiene una velocidad diferente

Si no hubiera cargos en este camino (lo llamaré cable), entonces estaría en lo correcto. Pero ya has dicho que ahí hay electrones. Cada uno de ellos también contribuye al campo eléctrico presente, por lo que no se puede decir que se base simplemente en la distancia de las cargas externas (o la batería).

En un estado estacionario, los electrones se moverán de tal manera que el campo dentro del alambre sea cero. Esto no depende de la distancia a la batería. No puedes usar la ley de Coulomb a menos que sepas dónde están ubicadas las cargas, pero eso se vuelve difícil cuando todas se mueven.

La mayoría de los cables están formados por partes con carga positiva (p. ej., protones) y partes con carga negativa (p. ej., electrones). cada uno genera su propio campo eléctrico, y el campo se vuelve muy grande a medida que te acercas mucho a un solo electrón, lo suficiente como para ser más grande que los debidos a los 10 ^ 23 o más electrones. Entonces, el verdadero campo eléctrico va a saltar. Pero de lo que solemos hablar no es de este campo eléctrico microscópico, sino de uno medio. Eliges una región lo suficientemente grande como para tener muchos electrones, pero lo suficientemente pequeña como para que, si trasladas un poco la región, el promedio (la integral dividida por el volumen) no cambie mucho. Es como la densidad de población de una ciudad, no quieres que aumente en la cama de cada persona o incluso en su dormitorio, quieres que cambie suavemente de una parte de la ciudad para ver fácilmente dónde es relativamente densa.

Bien, esos son los campos y las densidades de carga de los que estamos hablando. Así que echemos un vistazo a ese elemento del circuito. Si es óhmica, entonces es una resistencia y generalmente queremos resistencias que mantengan la corriente dentro, o al menos cerca de ella. Si hay una función de trabajo que requiere una gran cantidad de energía para sacar un electrón del metal, y el entorno térmico es lo suficientemente frío como para que la energía sea mucho mayor que la que proporcionaría un empuje térmico, entonces las cargas fluirán hacia adentro, sobre o cerca del elemento, pero no escapar. Entonces no estamos viendo una aceleración de la carga en la dirección normal al cable, entonces$\vec{E} \cdot \vec{n}=0$dónde$\vec{n}$es normal al límite del elemento del circuito, o en términos de potencial$\partial V / \partial n = 0$. ¿Qué hay de las partes del elemento del circuito que no están en el límite, las partes conectadas a la batería? Uno de ellos está a un potencial constante y el otro a un potencial constante posiblemente diferente. Por simplicidad y concreción, tome un extremo como$(0,r\sin(\theta),r\cos(\theta))$en potencial cero y$(L,r\sin(\theta),r\cos(\theta))$estar en potencial$V_0$, por lo que tenemos un alambre circular recto corto de longitud$L$y radio$r$, aunque la longitud y el radio no son importantes. La idea física final que necesitamos es que la densidad de carga macroscópica es cero. Si fuera distinto de cero y el campo eléctrico macroscópico fuera distinto de cero, entonces habría una aceleración macroscópica y no un estado estacionario. Los estados no estacionarios pueden ser importantes y útiles, pero a menudo son transitorios a medida que un sistema se acerca a un estado estacionario macroscópico, por lo que busca un estado estacionario macroscópico, si encontramos uno, entonces podría ser una descripción precisa de esta configuración. Así que ahora buscaremos un estado estacionario macroscópico, en el que el campo eléctrico macroscópico no tenga divergencia, y tengamos las condiciones de contorno especificadas en todo el contorno.

Ahora podemos encontrar una solución con para el potencial eléctrico$V_1$dentro de la resistencia, a saber$V(x,y,z)=xV_0/L$. Supongamos que hubiera otra solución.$V_2$que también tiene$V=0$en un extremo,$V=V_0$en el otro y$\partial V /\partial n = 0$en los bordes de la resistencia, y luego considere los dos campos eléctricos$\vec{E}_1=-\nabla V_1$y$\vec{E}_2=-\nabla V_1$, luego considere las diferencias$\vec{E}_3=\vec{E}_1-\vec{E}_2$y$V_3=V_1-V_2$y tenga en cuenta que estos son campos, no solo números. Notemos que la divergencia de$E_3$es cero porque la divergencia de$E_1$y$E_2$son cero porque no hay densidad de carga macroscópica neta. Entonces la identidad$\nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3)=V_3(\nabla \cdot \vec{E}_3)+\vec{E_3}\cdot(\nabla V_3))$(que es una identidad general de cálculo vectorial) se reduce a$\nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3)=\vec{E_3}\cdot(\nabla V_3))=\vec{E_3}\cdot(-\vec{E_3})=-(E_3)^2$y que el lado derecho nunca es positivo (es cero como máximo). Estas dos cosas iguales$\nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3)$y$-(E_3)^2$siguen siendo campos, por lo que integramos ambos en todo el cable para obtener

$\int_W \nabla \cdot (V_3 \vec{E}_3) dxdydz=\int_W-(E_3)^2 dxdydz$, dejar$\partial W$sea ​​la superficie del alambre, y aplique el teorema de la divergencia para obtener:

$\int_{\partial W} (V_3 \vec{E}_3)\cdot d\vec{a}=\int_W-(E_3)^2 dxdydz$. Ahora, dado que las dos soluciones tienen el mismo potencial en los dos extremos del cable (entonces$V_3$es cero allí), solo tenemos que preocuparnos por los lados del cable$S$entonces obtenemos:

$\int_S (V_3 \vec{E}_3)\cdot d\vec{a}=\int_W-(E_3)^2 dxdydz$.

Pero$\vec{E}_3\cdot d\vec{a}=\vec{E}_3\cdot \vec{n} da=-\partial V_3 /\partial n da$y también$\partial V_3 /\partial n = 0$a los lados desde$\partial V_1 /\partial n = 0$y$\partial V_2 /\partial n = 0$allá. Entonces toda la integral de superficie se anula. Entonces obtenemos:

$0=\int_W-(E_3)^2 dxdydz$. Ahora bien, si por el bien del argumento,$\vec{E}_1$no igualó$\vec{E}_2$entonces tendría que haber un punto donde fueran diferentes con una diferencia en magnitud$d$en ese punto. Entonces, como son continuos, tendría que haber toda una bolita alrededor de ese punto que queda dentro del alambre donde estaba esta diferencia de magnitud entre$d/2$y$d$, entonces la integral de$-(E_3)^2$sobre esa bolita estaría entre$d/2$y$d$veces el negativo del volumen de esa pequeña bola, pero la integral sobre todo el resto de ese cable puede dar como máximo cero y tal vez incluso ser negativa, por lo que no hay forma de que la suma de un número estrictamente negativo y un número no positivo pueda dar usted cero, por lo que no debe ser el caso de que$\vec{E}_1$y$\vec{E}_2$son diferentes desde$\vec{E}_3$es cero dentro del alambre. Y sabemos qué$\vec{E}_1$es, es$(V/L,0,0)$. Así que ese es el campo eléctrico. es uniforme Es el único campo macroscópico que es macroscópicamente constante.

¿El campo macroscópico tiene que ser macroscópicamente estable? Bueno, tiene una batería, y el propósito de la batería es proporcionar un voltaje constante, y el voltaje es un concepto dependiente del indicador en la electrodinámica dependiente de tiempo completo, por lo que si está diciendo que tiene una batería y todo lo que quiere decir sobre es que mantiene un voltaje estable y no quiere hablar sobre cómo lo intenta o cómo interactúa dinámicamente con un campo macroscópico no estable, entonces creo que esto es todo lo que podemos decir.