¿Por qué la corriente conservada no debería necesitar renormalización?

Este es un comentario largo, en el que resumo los puntos de Collins en la fuente de @HansMoleman (parte de la Sección 6.6 del libro), pero no soy un experto en este tema.

Dada una corriente básica$j^\mu_b$, ambos$[j^\mu_b]$y la corriente conservada de Lagrangian no renormalizada$j^\mu$agregar contratérminos de resta mínima a$j^\mu_b$. Desde$\varepsilon^\mu:=j^\mu-[j^\mu_b]$es la diferencia de dos soluciones de la identidad de Ward,$\partial_\mu\langle 0|T\varepsilon^\mu (x)X|0\rangle=0$. La pregunta es si$\partial_\mu\varepsilon^\mu=0$se mantiene fuera de la cáscara. Si esto fuera solo cierto en el caparazón,$\partial_\mu\langle 0|T\varepsilon^\mu (x)X|0\rangle$sería un término distinto de cero de la misma dimensión de masa que$j^\mu_b$(o$j^\mu$, o$[j^\mu_b]$), por lo que hay que considerar qué términos de esta dimensión puede construir la teoría. Ejemplos incluyen:

• $\partial_\nu F^{\mu\nu}$;
• en un$4D$teoría no abeliana,$\varepsilon_{\kappa\lambda\mu\nu}\partial^\kappa (A_a^\lambda A_b^\nu)$(lo cual, en vista del símbolo de Levi-Civita, indica una simetría quiral, y Collins no lo trata completamente hasta el Capítulo 12);
• y, porque podemos extender este análisis a$2$- "corrientes" dimensionales,$(\partial_\mu\partial_\nu-g_{\mu\nu}\square)\phi^2$es un contratérmino en$T_{\mu\nu}$.

En algunos casos no se pueden construir tales términos, por lo que$\partial_\mu\varepsilon^\mu=0$. Collins enumera los casos en los que el resultado puede fallar:

• Simetrías espacio-temporales - para éstas recomienda las fuentes Callan, Coleman & Jackiw (1970), Freedman, Muzinich & Weinberg (1974), Collins (1976), Brown & Collins (1980) y Joglekar (1976);
• Corrientes no conservadas con término de ruptura de dimensión$\ge$la de la densidad lagrangiana;
• Transformaciones no lineales;
• Teorías de calibre, si falla una generalización adecuada (nuevamente, esto se trata en su Capítulo 12).

No puedo encontrar una discusión de$Q_7$en el libro pero, teniendo en cuenta que pasa el resto del Capítulo 6 estudiando la renormalización masiva de un campo escalar, por lo general debe esperar que la renormalización implique muchos cálculos, a veces revelando que "nada cambia". (Por ejemplo, una generalización adecuada de lo anterior podría tener éxito en una teoría de calibre). En tales casos, puede haber un esfuerzo por resumir por qué nada cambia, pero esto puede ser confuso si la fuente lo deja allí, en lugar de dejar que sirva. como prefacio a una demostración completa.