¿Por qué la correlación clásica en el experimento de Bell sería una función lineal del ángulo?

Creo que entendiste mal el significado de podría para una teoría clásica. El texto debajo de la imagen que tomó de Wikipedia dice: "Existen muchas otras posibilidades para la correlación clásica sujeta a estas condiciones secundarias" , por lo que la clasicidad no implica linealidad. Sin embargo, descarta el coseno mediante el siguiente argumento (ligeramente heurístico):

Clásico significa heurísticamente "todos los resultados de medición existen, ya sea que haya medición o no".

Tome un polarizador en un ángulo$\theta$. Las teorías ocultas clásicas/locales insisten en que las probabilidades$P(A_\theta = A_\phi)$que el fotón que pasó a través de un ángulo$\theta$ habría pasado en un ángulo$\phi$a través del mismo polarizador existen todos al mismo tiempo. Tenga en cuenta que es importante que esta sea la probabilidad de detectar la partícula cuántica: si solo estuviéramos hablando de la intensidad del campo continuo, como implicaría su argumento de proyección, el siguiente argumento probabilístico no funcionaría. Sin embargo, se ha demostrado experimentalmente que, de hecho, se miden fotones incidentes individuales.

Ahora, una ley probabilística básica dice que

Si ahora dividimos$[\theta_0,\theta_N]$en$N$intervalos de longitud igualmente grandes$\Delta\theta = \frac{\theta_N - \theta_0}{N}$con ángulos$\theta_0,\dots,\theta_{N+1}$, obtenemos:

Pero la probabilidad del coseno$P(A_{\theta_i} = A_{\theta_{i+1}})$no depende del valor absoluto de estos ángulos, por lo que todo sumando es$P(A_0 = A_{\Delta\theta}) = \mathrm{cos}^2(\Delta\theta)$y tenemos que una teoría oculta local exige:

Tome una diferencia de ángulo total de$\theta_0 - \theta_N = 90°$y$N = 89$, y lo entiendes

que cualquiera con una calculadora puede probar que es falso. Por lo tanto, la suposición de que todos$P(A_{\theta_i} = A_{\theta_{i+1}})$existir sin hacer la medida es falso, ya que el coseno es lo que medimos.

El argumento de Bell hace suposiciones muy débiles sobre el comportamiento de las dos partículas (por eso es interesante). En efecto, las partículas son cajas negras que toman un ángulo como entrada y producen una dirección de giro como salida. No hay restricciones sobre cómo eligen la dirección de giro; podría haber una fuente de verdadera aleatoriedad allí, o un ser humano que tome la decisión. Las únicas limitaciones son que a ninguno de los cuadros se le dice qué ángulo se le dio al otro cuadro, y si a ambos cuadros se les da el mismo ángulo, deben arrojar resultados opuestos.

Cada caja podría tener un "eje de giro real" secreto (apuntando de manera opuesta al eje de la otra caja) y cuando se le indique el eje de medición, podría calcular el$\cos^2$del ángulo entre esos ejes. Sin embargo, no puede devolver eso como resultado, porque el resultado tiene que ser "arriba" o "abajo". Podría devolver "arriba" con una probabilidad igual al coseno al cuadrado, y "abajo" en caso contrario. Pero entonces, si a ambos cuadros se les diera el mismo eje de medición, pero no fuera el eje "real", habría una probabilidad distinta de cero de que arrojarían la misma respuesta, lo que viola el requisito de que siempre arrojan respuestas opuestas en ese caso.

Si lo piensas bien, no hay otra alternativa que predecir el resultado que cada cuadro producirá para cada ángulo, ya que no hay otra forma de asegurar que siempre coincidirán. Entonces, "los resultados de la medición están predeterminados" no es una suposición del teorema, es solo la única forma aparente de cumplir con los requisitos dadas algunas suposiciones aparentemente evidentes sobre la realidad.

Bell demostró un resultado demasiado general que es innecesariamente difícil de entender. No necesita un continuo de ángulos de medición para obtener un resultado no clásico, solo tres. Con tres ángulos, el argumento anterior muestra que solo hay$2^3=8$posibles "estrategias de respuesta" para los recuadros, que podemos escribir UUU, UUD, UDU, ..., DDD (donde U significa que el primer recuadro dice "arriba" y el segundo "abajo", y D es al revés). Dos de ellos, UUU y DDD, llevan a que las casillas siempre estén en desacuerdo. Los otros seis son todos equivalentes bajo permutaciones e intercambio de U y D, y conducen a que las cajas coincidan 2/3 del tiempo cuando los ángulos son diferentes. Entonces 2/3 de concordancia es la más alta posible en un mundo clásico. Pero en un mundo cuántico, medir pares de electrones de Bell a lo largo de ejes de 0°, 120° y 240° da concordancia 3/4 del tiempo.

ACuriousMind da un argumento correcto, pero hay un gran problema con todos los argumentos de Bell: hay una suposición incorporada de que las variables ocultas reales locales (y de hecho todos los valores clásicos) son números reales. Pero, ¿qué pasa si todos los valores de propiedades físicas realizables son más como distribuciones (piense en algo así como números borrosos) en lugar de números reales infinitamente precisos (es decir, puntos matemáticos)? La "ley probabilística básica" inicial con la que comienza ACuriousMind, y de la que depende el teorema de Bell, ya no es una desigualdad válida. Esto significa que lo único que prueban las pruebas de Bell es que las variables ocultas no pueden ser números reales. A lo que yo respondería: ¡Duh!, los números reales estrictamente no son realizables en el mundo real. Los valores de propiedades con números reales representarían estados de entropía cero (es decir, funciones delta verdaderas), violando la tercera ley de la termodinámica, y también violaría el límite de información de Bekenstein, no pueden existir físicamente. Si los valores de propiedad realizables se parecen más a las distribuciones de valor gaussianas, podrían coincidir con las correlaciones cos o cos ^ 2 (que depende de la configuración específica) obtenidas en pruebas reales de Bell muy de cerca, y se determinarían en la fuente de enredo. Se preservaría la localidad y Einstein tendría razón.