¿Por qué la conservación del momento angular se considera una ley?

La conservación del momento angular es realmente un fenómeno nuevo, que no se deriva de la mecánica newtoniana que ya conoces; por lo tanto, merece su propio lugar como ley. En concreto, ha demostrado que

Si un sistema no experimenta torque, entonces su momento angular se conserva.

Sin embargo, esta declaración por sí sola es inútil. Tal vez todos los sistemas siempre experimenten torque; tal vez un sistema pueda ejercer un par sobre sí mismo. Lo que realmente queremos decir, es decir, la ley real de conservación del momento angular, es más como

El momento angular de un sistema aislado se conserva.

Para ver cómo estos no son equivalentes, supongamos que tenemos un sistema de dos partículas aisladas, una encima de la otra. La tercera ley de Newton no prohíbe que las partículas se empujen de izquierda a derecha entre sí. ¡Pero entonces el sistema comenzará a girar espontáneamente! Cambia su propio momento angular ejerciendo un par sobre sí mismo.

Para forzar la conservación del momento angular, necesitamos usar la forma fuerte de la tercera ley de Newton,

Las fuerzas entre partículas vienen en pares de acción/reacción, y estas fuerzas están dirigidas a lo largo de la línea de separación entre las dos partículas.

Esta es una suposición fundamentalmente nueva, por lo que el momento angular realmente es algo propio. En un nivel más profundo, la conservación del momento lineal y angular se deriva de la traslación y la simetría rotacional del espacio, y es posible tener espacios que solo son traslacionalmente simétricos, o solo rotacionalmente simétricos. Los dos son independientes.

Solo para ampliar un poco la respuesta de @knzhou: si tiene un sistema de partículas de masas$m_i$en posiciones$\mathbf r_i$entonces tienen fuerzas externas$\mathbf F_i$actuando sobre ellos, así como las fuerzas internas$\mathbf G_{ji} = -\mathbf G_{ij}$por la tercera ley; y la segunda ley simplemente establece,

$$m_i \ddot {\mathbf r}_i = \mathbf F_i + \sum_j \mathbf G_{ij}.$$ La gran primera idea sobre las propiedades de la masa es resumir sobre todo $i$para encontrar que el $\mathbf G_{ij}$todos cancelan la salida, $$\sum_i m_i \ddot {\mathbf r}_i = M \ddot {\mathbf R} = \sum_i \mathbf F_i.$$ Arriba definimos $M = \sum_i m_i$y por lo tanto $\mathbf R = \sum_i \frac{m_i}M ~ \mathbf r_i$es el centro de masa, como de costumbre. Así que lo increíble es que esto $\mathbf G_{ij} = -\mathbf G_{ji}$hace que todas las fuerzas internas se cancelen, y podemos pretender que el sistema tiene masa $M$y vive en su centro de masa y siente todas las fuerzas externas $\sum_i \mathbf F_i.$

Vale la pena tomarse un segundo para demostrarlo , si aún no lo ha hecho. Si realmente sumamos todos estos índices tenemos$\sum_{ij} \mathbf G_{ij} = \sum_{ij} \mathbf G_{ji},$el orden de la suma no importa. Porque tenemos$A = B$también podemos reescribir estas cosas como$A = (A + B)/2,$por lo que reescribimos como$\frac12 \sum_{ij} (\mathbf G_{ij} + \mathbf G_{ji}).$Ahora usamos la Tercera Ley, que$\mathbf G_{ji} = -\mathbf G_{ij},$para saber que esto es

$$\sum_{ij} \mathbf G_{ij} = \frac12 \sum_{ij} (\mathbf G_{ij} - \mathbf G_{ij}) = \frac12 \sum_{ij} 0 = 0.$$ Así demostramos que esta "antisimetría" de $\mathbf G$produce el 0 cuando sumamos sobre el $i$índice de arriba.

Ahora hacemos el procedimiento que sugieres, tomando la ecuación original y cruzando con$\mathbf r_i$para encontrar que los pares externos$\mathbf \tau_i$entra en escena como,

$$m_i \mathbf{r}_i \times \ddot{\mathbf r}_i = \mathbf \tau_i + \sum_j \mathbf r_i \times \mathbf G_{ij}.$$ El lado izquierdo funciona, porque $\dot{\mathbf r}_i \times \dot{\mathbf r}_i = 0,$a $\frac{d}{dt}(m_i \mathbf r_i \times \dot{\mathbf r}_i)= d\mathbf L_i/dt.$Eso no es un problema.

La gran pregunta que queda: ¿los$\mathbf r_i \times \mathbf G_{ij}$cancelar necesariamente? Bueno, intentemos repetir la misma actuación anterior; tenemos

$$\sum_i \dot{\mathbf L}_i = \sum_i \mathbf \tau_i + \frac12\sum_{ij}\Big(\mathbf r_i\times \mathbf G_{ij} + \mathbf r_j\times \mathbf G_{ji}\Big),$$ y después de aplicar la antisimetría de $\mathbf G$solo llegamos a $$\sum_i \dot{\mathbf L}_i = \sum_i \mathbf \tau_i + \frac12\sum_{ij}\big(\mathbf r_i - \mathbf r_j) \times \mathbf G_{ij}.$$ Entonces, de hecho, esto no es cero en general y en su lugar requiere $\mathbf G_{ij}$ser paralelo a $\mathbf r_i - \mathbf r_j$en general para hacerlo cero. Y esto es precisamente lo que describió @knzhou; las fuerzas internas deben apuntar a lo largo de la línea que conecta las partículas, de lo contrario, el momento angular no se conserva.

Tienes razón al decir que la ley de Newton y la conservación del momento angular pertenecen a diferentes niveles de conocimiento.

ley de newton ($F=ma$) es un axioma, no puede ser deducido por otras relaciones, y se puede pensar en mundos perfectamente permitidos que podrían existir donde no fuera cierto.

La conservación del momento angular, por otro lado, se deriva por medio de la ley de Newton (esto se puede hacer en diferentes niveles de abstracción, es decir, mediante cálculo directo, el teorema de Noether, etc., pero no obstante, mi afirmación sigue siendo básicamente cierta), y dados los axiomas es lo que se obtiene sin añadir nada nuevo.

Sin embargo, la palabra ley en física se usa para indicar ambos.