¿Por qué hay interferencia cuando los pulsos no se superponen en el espacio y el tiempo?

Esta es una muy buena pregunta, porque nos gusta pensar en los espectrómetros como cajas negras y, de hecho, como se ve desde el exterior, solo entran dos pulsos claramente separados, entonces, ¿cómo logran interferir? La respuesta es más clara al darle la vuelta a la paradoja: haga lo que haga el interferómetro, debe combinar coherentemente las señales de los dos pulsos, y debe manipularlas de manera que coincidan en el espacio y el tiempo.

Hay una forma clara y fundamental de ver que los pulsos simplemente no están tan claramente separados como crees. Como bien observas, si los pulsos están separados en el tiempo por un retraso$T$, el espectro oscilará con una separación de cresta a cresta de$1/T$. Sin embargo, para poder ver esta interferencia, debe muestrear en el espacio de frecuencias a una resolución más alta, es decir, su espectrómetro debe poder distinguir entre señales que están separadas por$\frac{1}{2T}$en frecuencia.

En particular, eso significa que las observaciones deben tomar al menos un tiempo$2T$, para cumplir con el teorema del ancho de banda de tiempo: su espectrómetro debe estar interactuando con los pulsos, de manera coherente, durante al menos ese tiempo. Esto significa que lo que pensó que era una larga separación entre los pulsos no es tan larga y, en lo que respecta al espectrómetro, en realidad están dentro del mismo intervalo de tiempo.

Ir más allá de este tipo de observación fundamental es un poco difícil, porque el término "espectrómetro" es espectacularmente amplio y cubre una enorme gama de dispositivos que interactúan con la señal de diferentes maneras, y cada uno de ellos cumplirá con este fundamental a largo plazo. requisito de coherencia-tiempo de diferentes maneras. (De hecho, dejó en claro que está pensando en la luz, pero la misma paradoja se aplica, por ejemplo, a RF en un cable u ondas de presión en una tubería, por lo que la respuesta también debe aplicarse a esos contextos).

Sin embargo, es muy, muy difícil pensar en esto en términos abstractos generales, así que permítanme ejemplificar esto con un par de ejemplos, uno de ellos relativamente general y otro más específico para la luz.

• Para empezar, permítanme producir un modelo abstracto de un espectrómetro, que tiene la tarea de medir el espectro de potencia de una señal.$f(t)$en un muestreo de frecuencia discreta$\nu_1,\cdots,\nu_N$separados uniformemente por un espaciamiento$\delta\nu$.

  Haré esto de manera abstracta, acoplando mi señal a un grupo de osciladores armónicos amortiguados con esas frecuencias resonantes, con un gráfico que se ve más o menos así:

  

  Cada oscilador puede estar tomando su señal desde diferentes puntos a lo largo de la tubería, o todos en el mismo punto. Para simplificar, suponga que cada acoplamiento tiene un efecto insignificante en la señal.

  Cada uno de estos osciladores tiene una ecuación de movimiento del tipo$\ddot x_i +\gamma\dot x_i +(2\pi \nu_i)^2 x_i = f(t)$, y cada uno responderá de manera resonante a las señales a una frecuencia$\nu_i$o dentro de un ancho de banda${\sim}\gamma$de eso Aquí$\gamma$se elige para ser 'pequeño', lo que significa que debe estar en el orden de$\delta\nu$, o un poco más pequeño.

  Además de esto, hay otro ingrediente crucial para obtener realmente la resolución espectral requerida, y es el requisito de que el tiempo de observación$\tau$ser más largo que$1/\delta\nu$. Si no hace esto, se está engañando a sí mismo pensando que ha alcanzado la resolución que deseaba, y hay una manera fácil de ver esto: simplemente alimente el sistema con una señal de ancho de banda reducido.$f(t)=\sin(2\pi\nu_j t)$, y tome su medida en$\nu_i$ser la amplitud de$x_i$después de un tiempo$\tau$eso es mas pequeño que$1/\delta\nu$(y por lo tanto también más pequeño que$1/\gamma$).

  Si hace esto, la señal sangrará: los osciladores vecinos, en$\nu_{i\pm 1}$, no debería ser resonante, pero no han tenido tiempo para que la amplitud acumulada en la primera mitad de la ventana de medición se cancele con la amplitud posterior, por lo que tendrá un valor distinto de cero$x_{i\pm 1}$y concluye erróneamente que su señal tenía amplitud en$\nu_{i\pm 1}$, que obviamente no es lo que querías.

  El procedimiento experimental, por lo tanto, requiere que dejes pasar tu primer pulso, e incluso si ya ha interactuado con todos los$x_i$y dejó el dispositivo, hay una memoria coherente almacenada en su colección de osciladores, y debe esperar un tiempo$\tau > T$para poder reclamar una mejor resolución espectral que$1/T$.

  Si aparece un segundo pulso dentro de esa ventana de medición, entonces su contribución a la$x_i$se sumarán coherentemente con la amplitud que ya tienen. De hecho, interferirá con él de manera constructiva o destructiva de una manera que depende de la fase en la que se encuentre.$x_i$se han acumulado durante el período entre pulsos, dando lugar directamente al espectro de interferencia que trazas.

• Está bien, está bien, pero hagámoslo un poco más explícito hablando de la luz. Permítanme tomar prestado este esquema como un espectrómetro óptico representativo:

  

  Este espectrómetro funciona tomando nuestra señal como una fuente de un solo punto y colimándola con un espejo, luego pasándola a través de una rejilla y luego usando un segundo espejo para enfocar el arco iris resultante en el detector. En esta imagen simplificada, es muy similar a la mayoría de los espectrómetros ópticos que existen, y lo que sigue se aplica ampliamente a esa clase.

  Desafortunadamente, hay algo que tiende a perderse cuando las personas discuten esta imagen, al menos al nivel de los libros de texto de introducción a la óptica, y es el hecho de que este tipo de configuración tiende a alterar los detalles temporales de los pulsos. Esto normalmente se descarta porque no importa cuando todo lo que desea es comprender la óptica del espectro. Sin embargo, cuando queremos observar la interferencia entre pulsos separados temporalmente, obviamente es importante.

  Para ver de lo que estoy hablando, considere el camino tomado por el componente de luz roja en los dos rayos que pasan en los extremos de la rejilla:

  

  Lo que hay que notar aquí es que las dos longitudes de ruta son diferentes, siendo la ruta de la izquierda más larga. El punto marca el lugar en ese camino donde tiene la misma longitud que el camino de la derecha.

  Esta es la idea crucial, porque significa que incluso si empiezo con un pulso que está localizado en el tiempo, se estirará en el tiempo cuando llegue al detector, porque diferentes partes de la señal para el píxel rojo del detector recorren caminos diferentes. longitudes

  Para ver esto un poco más claro, permítanme dibujar algunas superficies de igual tiempo para los diferentes rayos involucrados:

  

  Aquí estoy trazando círculos a la misma distancia de la fuente que corresponden a los rayos que pasan por los dos extremos de la rejilla de difracción, un par justo antes del espejo y un par justo antes del detector. Como puede ver, los rayos que pasan por la derecha de la rejilla de difracción vienen significativamente antes que los rayos que pasan por la izquierda de la rejilla.

  Esto, a su vez, tiene un fuerte efecto sobre la forma del pulso. Para ver esto, déjame llenar la región entre estas superficies con luz del color correspondiente:

  

  (Solo para aclarar, esto es simplemente un relleno lineal de las diferentes longitudes de onda, que en esencia ignora la curvatura del espejo colimador). Si luego empuja esto un poco más, puede obtener la evolución temporal completa del pulso. a través del espectrómetro:

  

  ^{Cuaderno de Mathematica utilizado para producir esta animación disponible a través de Import[" http://goo.gl/NaH6rM "][" http://i.stack.imgur.com/DxUGm.png "]}

  Es importante señalar que, de hecho, así es como se verá espacialmente el pulso, en el régimen en el que se comienza con un pulso muy corto. En ese caso, digamos, si su pulso dura 10 fs y, por lo tanto, tiene un ancho espacial original de 3 mm, el tamaño espacial real de su pulso en el diagrama anterior estará en el rango de varios centímetros, por lo que su pulso se ha estirado. significativamente. (Si su pulso es mucho más largo que el original, por supuesto, esto representará una mancha en su lugar).

  Vemos, entonces, que el pulso se ha estirado espacialmente en una cantidad considerable. La siguiente pregunta es, por supuesto, ¿cuánto se ha estirado? Debe quedar claro a partir de los diagramas que la cantidad de estiramiento aumenta con el ancho de la rejilla, y que para rejillas más anchas, el pulso se estirará temporalmente más y más.

  Esto se vuelve aún más relevante cuando considera la razón principal por la que querríamos una rejilla más ancha en nuestro espectrómetro, que es obtener una mejor resolución de longitud de onda. En otras palabras, si desea medir con una resolución de frecuencia más fina, necesita usar mediciones que toman más y más tiempo y... bueno, ¡hola, principio de incertidumbre!

  Ahora puede ver adónde va esto: si desea un espectrómetro con suficiente resolución para resolver el${\sim}1/T$interferencia entre sus dos pulsos, entonces el espectrómetro necesariamente estirará los pulsos en una cantidad mayor que la separación entre pulsos$T$. Esto significa entonces que dentro del espectrómetro los dos pulsos coinciden tanto en el espacio como en el tiempo, y es perfectamente razonable que interfieran, localmente , en cada píxel del detector CCD.

  Bastante ordenado, ¿eh?

No creo que el chirrido adicional dentro del detector para superponer los pulsos sea necesario para observar el patrón de interferencia en el espectro.

Cada uno de los pulsos consta de muchos modos EM longitudinales y están presentes incluso si no hay intensidad (lo que ocurre debido a su interferencia destructiva mutua en todas partes excepto por el pulso). Por lo tanto, el campo de los dos haces también interferirá cuando sus pulsos no se superpongan en el tiempo. Al menos, esa es mi comprensión de este comportamiento.