¿Por qué este desplazador de fase de transistor de ganancia unitaria no disminuye su amplitud con la frecuencia?

Sin embargo, mi sensación me dice que R5 y C2 forman un filtro de paso bajo RC simple y, aunque alimentado por un voltaje de entrada simétrico extraído del colector y emisor del transistor, aún esperaría que la salida caiga a 6dB/oct desde aproximadamente 200Hz

A bajas frecuencias, R5 es dominante y la salida tiene un cambio de fase de 180 grados y ganancia unitaria (lo suficientemente cerca) y a altas frecuencias, C2 es dominante y produce un cambio de fase cero porque el voltaje que alimenta a C2 proviene del emisor.

No hay un filtrado de paso bajo significativo a considerar aquí.

Considere que el voltaje en el emisor es el mismo que el voltaje en la base y llámelo Vin. El voltaje en el colector es -Vin: -

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Por lo tanto, el voltaje en el punto medio de R y C (Vout) es: -

$V_{IN} - \dfrac{2V_{IN} \cdot X_C}{X_C+R} = V_{IN}(1-\dfrac{2X_C}{R+X_C})$

Por lo tanto Vout/Vin =$\dfrac{R-X_C}{R+X_C}$

Todo esto sin usar números complejos, pero si hiciste el análisis de la parte superior e inferior de la ecuación anterior, las magnitudes son iguales: -

La imagen de arriba es cuando R y Xc se suman vectorialmente. Ahora, si Xc fuera negativo (según el numerador en la ecuación), Xc, por supuesto, apuntaría hacia arriba PERO, la longitud de -Xc y R sumadas es exactamente la misma magnitud.

Aquí está la ilustración de LTspice del circuito equivalente que analizó LvW (en comparación con el circuito de transistor original):

Tenga en cuenta que en el circuito original, Vc y Ve se desplazan un poco (en la misma dirección) en la transición, pero esto puede ignorarse como puede ver.

Y si desea una "prueba de LTspice" de este último problema de superposición, puede hacer lo siguiente al aumentar las fuentes de voltaje de CA:

En estas gráficas, he seleccionado solo los datos (Vc=1, Ve=0), (Vc=0, Ve=1) y finalmente (Ve=1, Vc=1).

La intuición detrás de la solución de este último circuito equivalente es simple: cualquiera que sea la magnitud que pase bajo de la fuente Vc, la sumará a la magnitud desplazada 180 que pase alto de la fuente Ve. Entonces su suma es constante en general. La prueba formal de esto está en la respuesta de LvW. Si desea que LTspice "pruebe" esta suma, debe colocar ambos circuitos parciales explícitamente en el mismo esquema, como se muestra a continuación. (No sé cómo hacer que LTspice agregue resultados parametrizados para diferentes valores de parámetros).

Para elegir un punto de abscisa en particular para verificar esto numéricamente, digamos, correspondiente a la magnitud de -3dB ($=\frac{1}{\sqrt{2}}$, que es el mismo para ambos filtros obviamente) la fase de la señal de paso bajo es de -45 grados allí, y la fase de la de paso alto es de -135 grados. Como era de esperar, esto da una magnitud de 1 y -90 grados de fase:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \angle {-45}^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \angle {-135}^{\circ} = \Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}j \Big) + \Big(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}j \Big) = -j = 1\angle {-90}^{\circ}$$

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Finalmente, aquí hay una prueba reformulada que no recurre al dominio s (ya que realmente no lo necesita aquí), ni usa definiciones originales de reactancia. Tienes dos divisores de voltaje, uno para cada una de esas fuentes

$$V_{co} = V_{c} \frac {\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}} = V_{c} \frac {1}{1+j\omega RC}$$

$$V_{eo} = V_{e} \frac {R}{R+\frac{1}{j\omega C}} = V_{e} \frac {j\omega RC}{1+j\omega RC}$$

Ya que$V_c=-V_e$, y por superposición:

$$V_{sum} = V_{co} + V_{eo} = - V_{e} \frac {1}{1+j\omega RC} + V_{e} \frac {j\omega RC}{1+j\omega RC} = V_{e} \frac{-1+j\omega RC}{1+j\omega RC}$$

Tiene más sentido expresar la función de transferencia relativa a$V_e$que a$V_c$porque el primero está en fase con la señal de entrada (base del transistor).

$$\frac{V_{sum}}{V_{e}} = \frac{-1+j\omega RC}{1+j\omega RC}$$

Ahora bien, este es un número complejo de la forma$\frac{-z^*}{z}$(donde * denota el complejo conjugado), por lo que su magnitud es siempre 1 ; este es un hecho matemático trivial ya que$z=a+bi$y$-z^*=-a+bi$tienen la misma magnitud, es decir$|z|=a^2+b^2 = (-a)^2+b^2=|-z^*|$.

La fase es otra cosa, y no es constante ya que es básicamente la función

$$f(x) = \arg\Big(\frac{-1+jx}{1+jx}\Big)$$

claramente en$x \to 0$es la fase de$-1$asi que$\pm \pi$, es decir, más o menos 180 grados. Entonces comienza [a baja frecuencia] exactamente en la fase opuesta al voltaje del emisor, es decir, en fase con el voltaje del colector. Como$x \to \infty$ el límite es cero , por lo que se vuelve en fase con el voltaje del emisor a una frecuencia lo suficientemente alta.

Para obtener más información a mano, primero tenga en cuenta que$\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1)-\arg(z_2)$(Vea la ecuación 10 en este folleto y la idea de prueba ). Asi que

$$f(x) = \arg(-1+ix) - \arg(1+ix)$$

Para$x>0$, la mitad derecha de esta resta es solo$\arctan x$, pero la izquierda es$\pi + \arctan (-x)$. Ya que $\arctan (-x) = -\arctan(x)$, por fin tienes

$$f(x) = \pi - 2 \arctan (x)$$

Esta es la misma función pero sólo para$x>0$. Supongo que es por eso que WA no lo simplificó automáticamente de esta manera.

Para que realmente se vea como en el gráfico de Bode, necesitas hacer un gráfico semilogarítmico, que no sé cómo hacer en WA (creo que requiere la versión paga), pero... gnuplot hace esto fácilmente:

gnuplot> set xrange [1:1E5]       
gnuplot> set logscale x                      
gnuplot> plot (180 / pi) * (pi - 2 * atan(2 * pi * 8E-4 * x)) 

8E-4 es la constante RC en este caso.

Un poco imprudentemente configuré Vc en fase 0 en los sims/plots anteriores de LTspice cuando debería haberlo hecho con Ve. Con ese cambio, la teoría concuerda perfectamente con la simulación:

Es un filtro allpass de primer orden con las siguientes propiedades:

• Ambos voltajes de salida (magnitudes) son iguales (colector resp. emisor): Por lo tanto, v,c=-v,e .

• Usando el principio de superposición, el voltaje de salida a través de la resistencia de carga común R6 (suma de una salida de paso bajo y una salida de paso alto) es

  v,fuera=v,e[sR5C2/(1+sR5C2)]-v,e[1/(1+sR5C2)]

• Por lo tanto: v,out/v,e=(sR5C2-1)/(sR5C2+1) .

  Esta función de paso total de primer orden tiene una magnitud unitaria (magnitudes iguales para el numerador y el denominador) para todas las frecuencias, siempre que se pueda despreciar la dependencia de la frecuencia de la ganancia del transitor.

Nota: Se despreció la influencia de la resistencia de carga muy grande R6.