¿Por qué esta derivación de la señal de salida del circuito de disparo Schmitt es incorrecta?

Punto 1

El disparador Schmitt tiene histéresis. La histéresis implica que el circuito tiene memoria . Recuerda su último estado. Para un sistema con memoria, no puede escribir$V_o = f(V_{in})$. Debe ser del formato$V_o = f(V_{in}, V_{o, \text{prev}})$o algo equivalente. _{Como indica uno de los comentarios mencionados debajo de la pregunta, uno no sabría que el sistema tiene memoria la primera vez que intenta resolver el circuito usando ecuaciones. En mi humilde opinión, en ese caso, la siguiente sección protegería contra una conclusión errónea.}

Punto 2

La capacidad de saturar la tensión de salida también es una característica importante, ya que evita$V_o$y$V_x$reforzándose mutuamente hasta el infinito. Sus ecuaciones no modelan la no linealidad de la saturación.

Su segunda ecuación se habría escrito mejor como

$V_o = \min(\max(A(f(V_o) - V_{in}), -V_{max}), V_{max})$

Con este andamiaje para representar la no linealidad, se habría evitado toda simplificación adicional que se intentara en la pregunta.

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_{En respuesta a la pregunta de OP a continuación en los comentarios.}

Analicemos el caso donde $V_{in} = 0$. La segunda ecuación de OP se simplifica a

$V_o = A(\frac{R_1}{R_1+R_2}V_o - 0)$.

Despreciando la saturación, y por$A\frac{R_1}{R_1+R_2} > 1$, la solución a este sistema es

$V_o = 0$o$V_o = \infty$(desde$0 = A\frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot 0$y$\infty = A\frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot \infty$).

Esto significa que, si la salida opamp se fuerza a 0 y si no hay ruido (o cualquier otra imperfección) en el sistema, la salida permanece allí (la forma de onda de OP también muestra salida de cero voltios para entrada de cero voltios).

En un circuito práctico, la salida se desplazará de 0 voltios por el ruido. Entonces la pregunta es, ¿el sistema permanecerá allí? ¿Volverá el sistema a cero voltios o$\infty$voltios? La dinámica (evolución temporal) del sistema no está modelada por las ecuaciones de OP, por lo que no podemos responder a esta pregunta limitándonos a las ecuaciones algebraicas donde no se modela el tiempo . Si también se modeló el tiempo, creo que podríamos haber concluido que el punto de equilibrio de 0 voltios es inestable y el$\infty$equilibrio de voltios (o$V_{max}$) es estable y el sistema tenderá a moverse hacia la situación de salida extrema.

En resumen, usando la ecuación algebraica anterior, no podemos analizar este circuito cuando la salida no toca los valores de saturación ($-V_{max} < V_o < V_{max}$) ya que un sistema práctico tenderá a desplazarse hacia los puntos de saturación y no se encontrará exactamente en la solución de la ecuación algebraica anterior.

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_{En respuesta a los comentarios a continuación que piden olvidar las cosas de histéresis. Estoy intentando construir un ejemplo sin histéresis.}

Permítanme tratar de hacer un punto con una analogía donde existe una solución algebraica, pero la salida no tiene límites. Este sistema análogo también tiene retroalimentación positiva. También tiene una salida finita predicha por la ecuación. Pero la salida es ilimitada.

La relación entrada-salida está dada por

$\begin{align} \frac{dy(t)}{dt} ={}& x(t) \color{red}{+} y(t)\\ (s-1)Y(s) ={}& X(s)\\ \frac{Y(s)}{X(s)} ={}& \frac{1}{s-1} \end{align}$

Para cualquier señal sinusoidal de amplitud finita (incluida la frecuencia 0), la salida predicha por la función de transferencia es finita. Pero el sistema tendrá una salida ilimitada. La ganancia de este sistema en función de la frecuencia es la misma que la del sistema$\frac{1}{s+1}$. Creo que este ejemplo forma un buen paralelo con su ejemplo. En este ejemplo no se usó histéresis ni saturación.

Asumió que hay una salida estable y calculó cuál debería ser la salida en caso de que la suposición sea correcta. Además, recortó el resultado al posible rango de voltaje de salida. El recorte está bien, pero la suposición de la existencia de una salida estable no lo está, como podrían confirmar las personas que conocen la teoría de la estabilidad de retroalimentación (ver NOTA 1)

La gente hace el mismo tipo de razonamiento continuamente. En realidad, toda la física se basa en este tipo de razonamiento. Allí, comparar las medidas es la forma de revelar suposiciones erróneas.

NOTA 1: no es necesario ser un matemático o ingeniero de nivel académico para poder dejar en claro que se puede lograr una salida estable solo porque el rango de voltaje limitado recorta la salida. Un poco de análisis elemental del dominio de Laplace es suficiente.

Si asumimos que hay una lentitud realista en el amplificador, digamos que se carga un RC y la ganancia es finita, tal vez grande, pero finita, podemos encontrar la función de transferencia para todo el circuito. La lentitud evita cambios infinitamente rápidos para que podamos seguir lo que hace el circuito.

Podemos reemplazar la amplificación ideal A con G/(1+sRC) que es la función de transferencia del integrador RC amortiguado. G es la ganancia de CC del amplificador.

También simplifiquemos la fórmula reemplazando R1/(R1+R2) con un solo símbolo B. Es nuestro factor de atenuación de retroalimentación que está entre 0 y 1.

La ganancia en el dominio s del sistema es Vo/Vi = 1/(B-(1+sRC)/G)

Por supuesto, la salida permanece en cero si la entrada es cero y no hay ruido. Pero siempre hay algo de ruido. Podemos encontrar qué frecuencias del dominio s comienzan a sonar en el sistema desde el más mínimo pulso de ruido calculando qué valores de s hacen que el denominador sea infinito (= encuentre los polos de la función de transferencia). Resolvemos s de la ecuación (B-(1+sRC)/G)=0

El resultado es s=(GB-1)/RC

La transformación matemática de Laplace dice que la salida de un pulso de ruido más leve es proporcional a un voltaje exponencial exp(t/T) con constante de tiempo T=RC/(GB-1). Esta T es positiva tan pronto como GB sea mayor que 1. La constante de tiempo positiva significa un crecimiento ilimitado que, en la práctica, se detiene solo por el rango de voltaje de salida limitado. T negativa (es decir, GB <1) significa que el timbre en el bucle decae y la salida se estabiliza al valor que se puede calcular con su fórmula original para Vo. Pero para una salida estable, A debe ser menor que cuánto atenúa el divisor de voltaje de retroalimentación.

¿Por qué parece una onda sinusoidal recortada amplificada para el comparador Hysteric usando un amplificador operacional?

Los límites de GBW en los amplificadores operacionales hacen que los comparadores de alta velocidad sean deficientes, ya que en bucle abierto son solo integradores con un punto de interrupción LPF cercano a los 10 Hz o más.

El tiempo de subida normalmente está limitado por la corriente de salida en la carga estándar de 30 pF. Pero en este caso, el tiempo de subida está limitado por el tope de compensación interno. Entonces

Si la ganancia de CC es Av = 2e5 y GBW = 4e5, entonces la ganancia de CA es solo.
Av(f)<~2 estimado por tus olas

Entonces, el tiempo de subida, Tr se mide en un 10 ~ 90% y f en un punto de -3dB, por lo que f = 0.35 Obtienes Tr = 0.35 / f @ -3dB

Al igual que su salida.

Toda la histéresis es correcta.

Mientras tanto, la retroalimentación positiva funciona como se esperaba.

Sugerencia

• use una puerta lógica o un comparador de colector abierto con 1k pullup y Rf = 100k Y Rin es la relación si la histéresis. Luego espere tiempos de caída rápidos pero aumento lento con cargas de xx pF.

• use un disparador CMOS Schmitt diseñado para 1/3 de histéresis

Circuito con histéresis

Primero, comentaré las propiedades de memoria de este circuito con histéresis. Sí, tiene memoria... y puede actuar tanto como disparador Schmitt como como pestillo RS .

Schmitt Trigger. En estas aplicaciones, el voltaje de entrada varía suavemente en ambas direcciones. El circuito se comporta como un latch forzado por el voltaje de entrada a permanecer en uno de sus dos estados. Aprovechamos las transiciones bruscas y la histéresis para reducir diversas interferencias.

Pestillo. En estas aplicaciones, alternamos el circuito con histéresis en un estado u otro mediante pulsos bipolares (cambiando por un momento el voltaje de entrada por encima/por debajo del umbral positivo/negativo y luego devolviéndolo a cero). El voltaje de entrada tiene tres niveles: Vin > +Vth (R), Vin < -Vth (S) y Vin = 0 (neutro). Para hacer que este pestillo se comporte nuevamente como un disparador, no regrese a cero. Esta idea se puede implementar conectando la entrada inversora a través de una resistencia a tierra. El pestillo se puede alternar tocando por un momento la entrada a VCC o -VEE.

En términos más generales, podemos controlar un circuito con histéresis de dos maneras diferentes: cambiando la señal de entrada fuera del bucle de histéresis "sin retorno" (disparador Schmitt) y "con retorno" (bloqueo) dentro del bucle (generalmente, en la mitad).

Pestillo RS

Entonces veamos si podemos convertir un pestillo en un gatillo Schmitt.

Latch RS con puertas lógicas de 2 entradas. El problema de esta implementación está en sus entradas unidireccionales . El voltaje de salida de la retroalimentación positiva y el voltaje de entrada están conectados por una función lógica (NAND o NOR) pero no por una función aritmética (suma) como en el caso del disparador Schmitt. Es por eso que, una vez que cambiamos el pestillo por algunas de sus entradas, no podemos cambiarlo por la misma entrada (ha perdido su función de control); podemos hacerlo por la otra entrada.

Latch RS con puertas lógicas de 1 entrada. No existe tal problema si el latch se implementa mediante puertas de 1 entrada (inversores) ya que tienen entradas de 2 vías . Un ejemplo típico es la celda RAM cuyas entradas/salidas se pueden controlar en ambas direcciones.

Como conclusión, parece que podemos hablar sobre el uso de histéresis solo en dispositivos con una entrada (disparador Schmitt o pestillo de 1 entrada).