¿Por qué es esta la tasa de flujo de volumen por unidad de área?

En mecánica de fluidos consideramos un fluido que llena una región$D\subset \mathbb{R}^3$junto con una función$\rho : D \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$llamada densidad de masa tal que para cualquier$3$subvariedad dimensional$W\subset D$la masa total de fluido en$W$es

Eso está bien, también tenemos$\mathbf{u}$el campo de velocidad espacial del fluido, es decir$\mathbf{u}(a, t)$es la velocidad de la partícula de fluido en el punto$a$y tiempo$t$. Suponer$\partial W$es el límite de$W$y eso$\mathbf{n}$es la unidad normal, entonces

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}$es el "caudal volumétrico por unidad de área" y$\rho \mathbf{u}\cdot \mathbf{n}$es el "caudal másico por unidad de área"

Ahora simplemente no puedo entender por qué. Parece que durante muchos años la gente dice eso para cualquier campo vectorial$\mathbf{V}$y cualquier superficie con normal$\mathbf{n}$el producto escalar de estos es el flujo del campo por unidad de área. Esto ya es difícil de tragar, y nunca lo entendí realmente. ¿Cómo entendemos esto en el contexto de la mecánica de fluidos?