Diferencias entre propagadores numéricos

Debería verificar qué propagador GMAT está usando. Un método RK4 de tamaño de paso constante se alejará de la verdadera solución de la ODE con el tiempo, por lo que si GMAT está usando un método de tamaño de paso adaptativo que en algunos puntos va del orden de milisegundos a decenas de segundos, es probable que sea más cerca de la solución que RK4.

En esencia, esto es lo que está haciendo el tamaño de paso constante de RK4: toma múltiples evaluaciones de la derivada entre ahora y el próximo paso de tiempo para obtener una mejor estimación de cómo está cambiando la función (a diferencia de decir un método de Euler de primer orden ). Luego toma una media ponderada de esas estimaciones para determinar qué derivada utilizará para dar este paso. Entonces, como se puede ver en la gráfica, en algunos puntos subestima el área bajo la curva y en otros lo sobreestima, lo que generará un error con el tiempo.

Aquí hay una versión alejada (y un paso de tiempo de 500 segundos) para mostrar el efecto.

Dado que está utilizando 60 segundos, el error crecerá menos rápidamente pero, sin embargo, se desviará con el tiempo.

Un solucionador de tamaño de paso adaptativo cambiará su tamaño de paso en función de la rapidez con la que cambia la derivada (la segunda derivada):

Entonces, si la derivada está más cerca de la constante, significa que la solución está cerca de la lineal, por lo que el solucionador puede tomar pasos de tiempo más grandes. Pero si la derivada está cambiando, la solución no es lineal, el solucionador debe tomar pasos de tiempo más pequeños.

El más común de estos métodos es RK4-5, que compara la solución de los métodos RK4 y RK5 y, en función de cuán diferentes sean, cambiará el paso de tiempo en consecuencia.

Entonces, en general, es posible que no haya ningún problema con la implementación de su modelo / RK4, puede depender del propagador GMAT que esté usando con el que esté comparando su solución

Además, si tiene curiosidad, estas capturas de pantalla provienen de un video que hice sobre los solucionadores de ODE:

Las respuestas anteriores contienen buena información general, pero TBH no me parece muy útil para la pregunta.

La verificación de cordura más fundamental con un solucionador numérico es: ¿cómo cambia el resultado cuando varía el tamaño del paso? Mantenlo lo más simple posible. Simule durante un solo día y pruebe diferentes tamaños de pasos. Como, prueba un paso de 6 segundos, 30 segundos, 200 segundos, 600 segundos. ¿Cómo se diferencian?

Los 600 segundos probablemente se comporten de manera muy extraña, pero los otros, no sé, deberías intentarlo. Si la solución de h = 6 segundos es esencialmente la misma que la de h = 60 s, en particular si tiene consistentemente las mismas desviaciones del GMAT, entonces evidentemente tiene un problema que es más fundamental y no tiene que ver con el integrador en absoluto. Esto podría ser muchas cosas diferentes.

Solo si ha establecido que definitivamente ha configurado todo como debe ser, debe concentrarse en obtener lo mejor de su solucionador numérico.

Su integrador numérico, RK4, no es apropiado para la tarea. El orden es demasiado bajo para la precisión que desea. También es un tamaño de paso fijo. No has hecho tu investigación sobre esto. Las tasas de propagación de errores para los integradores RK de paso fijo son tan malas como parece. Investigue integradores predictores-correctores de alto orden... orden 8 con (al menos) operaciones de coma flotante de 64 bits (incluso si son de paso fijo).

Puede buscar integradores RK incorporados que usen un integrador RK de orden inferior como predictor dentro de un integrador RK de orden superior. Mire RK78 como un reemplazo para su RK4. En el pasado, ese integrador ha sido un caballo de batalla para los mecánicos orbitales. Este le brindará acuerdos de datos mucho mejores y una buena precisión en intervalos de tiempo más largos.

Adams-Moulton, o mejor aún, Adams-Bashforth-Moulton, son predictores-correctores que se pueden codificar fácilmente en cualquier orden que desee. Sus tasas de propagación de errores son menores que cualquier método RK del mismo orden. Los integradores de Gauss-Radau también son muy precisos y se adaptan bien a las integraciones de mecánica orbital. No los codifique usted mismo. Descargar.

Hay muchos métodos predictores-correctores de paso variable que darán la mejor precisión y las tasas de propagación de errores más pequeñas durante intervalos de tiempo más largos. Con estos métodos, sus integraciones numéricas producirán la mejor precisión que puede esperar... pero tienen que ser de alto orden. El pedido 8 es bueno.

Antes de saltar a su proyecto con cualquier integrador mencionado aquí o en otro lugar, pruebe sus selecciones de integrador contra la solución al problema de 2 cuerpos expresado en coordenadas cartesianas. Esa es la peor manera de escribir las ecuaciones de 2 cuerpos, y esa forma de las ecuaciones estresará mejor a sus integradores. Dado que la solución del problema de 2 cuerpos es de forma cerrada en cualquier sistema de coordenadas, verá cómo los integradores seleccionados son justos con respecto a la propagación de errores y la precisión en intervalos de tiempo cortos y largos.

Tu proyecto no es trivial de ninguna manera, y necesitarás un integrador que esté a la altura. Obtendrá una buena idea del integrador a utilizar mediante integraciones numéricas del problema de 2 cuerpos. Asegúrese de que sus condiciones iniciales le den una órbita de 2 cuerpos con una excentricidad decentemente alta: e >= 0.3. No te vuelvas loco con una e muy alta (0,8). Los integradores de paso fijo morirán rápidamente con órbitas de alta excentricidad (e = 0,8). Su tasa de muerte es inversamente proporcional a la orden del integrador.

Buena suerte.