Al principio, el cubito de hielo está solo en el cilindro vacío: no flotará, por lo que estará en contacto con el fondo del vaso. Luego, comienza a derretirse: aparece una fina capa de agua en el fondo del cilindro; sin embargo, el cubo de hielo no comenzará a flotar ahora. Efectivamente, no hay suficiente agua: imagina que estás caminando justo después de una lluvia y pisas un charco; entonces, ¿sus zapatos están en contacto con el suelo? Por supuesto que sí: no hay suficiente agua para que la fuerza de Arquímedes contrarreste tu peso. Lo mismo sucede con el cubo de hielo.

Ahora, para que puedas encontrar cuándo el cubo de hielo empieza a flotar realmente, tienes que comparar la fuerza de Arquímedes, considerando que el cubo de hielo todavía está en contacto con el fondo del vaso, y el peso. Cuando el peso sea el más pequeño, el cubo de hielo comenzará a flotar.

Para su segunda pregunta: depende de cuál sea su objeto . Para un objeto sólido que permanece sólido, sí, ya que las fuerzas de presión contrarrestarán exactamente el peso, y estas dos fuerzas son las únicas que actúan sobre el objeto. Sin embargo, si considera un objeto no sólido, o un sólido que se derrite, entonces se difundirá.

Inicialmente no hay agua en el recipiente y el hielo "se asienta en el fondo". A medida que se derrite, el agua se acumula a su alrededor, pero no se sumerge lo suficiente como para que flote (como un barco en un lago con profundidad insuficiente, "encalla"). Después de que cierta cantidad de hielo se haya convertido en agua, el peso del agua desplazada excederá el peso del hielo restante.

Y luego flotará.

Matemáticamente, en un momento dado el cubo tiene un lado$a$, volumen$a^3$. El área del recipiente es$A=\frac14 \pi d^2$, y la fracción de esa área ocupada por el cubo es$a^2$. el volumen de agua es$V_w=(a_0^3-a^3)\frac{\rho_i}{\rho_w}$(ya que el agua es más densa que el hielo), y la altura del líquido es

$$h = \frac{V_w}{A-a^2}$$

El volumen sumergido del cubo es$h\times a$, y el peso del agua desplazada es$\rho_w g a^2 h$. El peso del cubo es$a^3 \rho_i g$.

El cubo flotará cuando el peso del agua desplazada sea igual al peso del cubo, entonces

$$\rho_w g a^2 h = \rho_i g a^3\\ h = a\frac{\rho_i}{\rho_w}$$

Juntando estos se obtiene

$$a\frac{\rho_i}{\rho_w} = \frac{a_0^3-a^3}{A-a^2}\frac{\rho_i}{\rho_w}$$

Curiosamente, las densidades relativas del agua y el hielo no entran en la respuesta final (se cancelan en ambos lados de la ecuación). Podemos reorganizar:

$$a(A-a^2)=a_0^3 - a^3\\ aA = a_0^3\\ a = \frac{a_0^3}{A} = \frac{64}{9\pi}\approx~2.26~\rm{ cm}$$

En cuanto a su segunda pregunta, es difícil obtener objetos de "exactamente la misma densidad"; pero si la densidad es de hecho la misma, entonces no hay una fuerza neta sobre el objeto y, por lo tanto, será "neutralmente flotante". Este es un concepto importante en el buceo (buceo): como buzo, intenta tener una flotabilidad neutral para minimizar la energía que necesita gastar mientras nada. Pero cada vez que tomas un respiro, comenzarás a subir, y cuando exhalas, vuelves a bajar. Esto se debe a que su densidad efectiva cambiará con la cantidad de aire en sus pulmones. Un buen buceador modulará su respiración por este motivo. Además, los buzos tienen un BCD (dispositivo de control de flotabilidad) que usan para ajustar la flotabilidad con la profundidad (ya que el peso de su tanque de aire cambia con el tiempo, su traje de neopreno se comprime con la profundidad, etc.). Tenga en cuenta que "

Aquí hay una derivación simple de la longitud del borde del cubo de hielo en el momento en que la flotabilidad lo levanta del fondo del cilindro.

Notación:

• $r$- El radio interior del cilindro de vidrio. (La mitad de 6 cm de diámetro, o 3 cm.)
• $l_0$- La longitud inicial del borde del cubo de hielo. (Dado como 4 cm.)
• $l$- La longitud del borde del cubo de hielo en algún momento.
• $h$- La altura del agua sobre el fondo del cilindro.
• $\rho_i$- Densidad del hielo.
• $\rho_w$- Densidad del agua.

Hasta que el cubo de hielo sale flotando del fondo del cilindro, el volumen del agua (es decir, el hielo que se ha derretido) es la altura del agua multiplicada por el área del agua es el área del cilindro menos el área del cubo de hielo :

$$v_w = h(\pi r^2 - l^2) \tag{1}$$ Una forma alternativa de calcular el volumen del agua es que es la masa del agua dividida por la densidad del agua. La masa del agua es igual a la masa del hielo que se ha derretido: la masa inicial del hielo menos la masa actual. Para esos necesitamos mirar el volumen del cubo de hielo: $$m_w = m_\text{melted ice} = \rho_i ({l_0}^3 - l^3)$$ y por lo tanto $$v_w = \frac{m_w}{\rho_w} = \frac {\rho_i}{\rho_w} ({l_0}^3 - l^3)\tag{2}$$ La combinación de las ecuaciones (1) y (2) produce una expresión para la altura del agua: $$h = \frac {\rho_i}{\rho_w} \frac{{l_0}^3 - l^3}{\pi r^2 - l^2}\tag{3}$$ Hasta que el cubo de hielo sale flotando del fondo del cilindro, la masa de agua desplazada por el cubo de hielo es $$m_\text{displaced water} = \rho_w l^2 h\tag{4}$$ En el momento en que el cubo de hielo sale flotando por primera vez del fondo del cilindro, será igual a la masa del propio cubo de hielo: $$m_\text{displaced water} = \rho_i l^3\tag{5}$$ Tenga en cuenta que la ecuación (5) solo es válida cuando el cubo de hielo está flotando. Ambas ecuaciones (4) y (5) son válidas en el momento en que el cubo de hielo comienza a flotar por primera vez. Igualar esas dos ecuaciones produce una expresión alternativa para la altura del agua en este momento: $$h = \frac {\rho_i}{\rho_w} l \tag{6}$$ Igualando las expresiones (3) y (6) y simplificando los rendimientos $$\frac{{l_0}^3-l^3}{\pi r^2 -l^2} = l \tag{7}$$ Resolviendo para $l$rendimientos $$l = \frac{{l_0}^3}{\pi r^2}\tag{8}$$ Introduciendo los valores $l_0 = 4\,\text{cm}$y $r=3\,\text{cm}$rendimientos $$l = 2.264\,\text{cm}\tag{9}$$

Para decirlo de otra manera, volvamos a derivar por qué las cosas flotan en primer lugar.

Conservación de la energía y el principio de energía mínima

Sabemos que existe este principio de "conservación de la energía" que dice que la energía es una "cosa" como la sal, el agua o el aire. Eso requiere tal vez una pequeña explicación: no es una "cosa" en el sentido habitual en el que todos están de acuerdo sobre la cantidad de esa materia contenida en una caja determinada; pero es una "cosa" en el sentido de que si la cantidad en la casilla aumenta o disminuye, la cantidad fuera de la casilla debe disminuir o aumentar respectivamente. En lugar de llamar a estas extrañas cantidades matemáticas "pseudocosas" o algo así, las llamamos "conservadas". Simplemente significa "si hay un cambio, entonces tiene que venir o ir a otro lugar".

Ahora bien, la "imagen de la energía" de la física es un poco más detallada que eso; dice que si una fuerza$\vec F$actúa sobre un objeto que se mueve con velocidad$\vec v$entonces el producto escalar$P = \vec F \cdot \vec v = F_x v_x + F_y v_y + F_z v_z,$que se conoce como el "poder producido por la fuerza", tiende a cambiar la energía cinética de ese objeto$K = \frac12 m v^2.$La expresión correcta involucra una suma de todas las fuerzas como la ley de Newton$m ~ d\vec v/dt = \sum_i \vec F_i,$y dice$dK/dt = \sum_i P_i.$En otras palabras, una fuerza que produce una potencia constante sobre un objeto aumentará su energía cinética linealmente con el tiempo que actúa sobre él.

Para algunas fuerzas, podemos definir una "energía potencial"$U,$la expresión técnica es$\vec F = - \vec \nabla U.$En tales casos resulta que el cambio total en la energía cinética$\Delta K = \int dt~\vec F\cdot\vec v$se convierte en la diferencia independiente del camino$-\Delta U,$en cuyo caso de hecho este número$K + U,$la "energía total", se conserva.

Para otras fuerzas, la energía aún se conserva, pero no estamos prestando mucha atención a dónde va. Las fuerzas de fricción y arrastre son un gran ejemplo. Por lo general, estos se oponen a su dirección de movimiento a través de un medio, por lo que en el marco de referencia donde ese medio está estacionario, tiene$\vec F \propto -\vec v,$¡y esa es una relación mágica porque significa que siempre tienen poder negativo y roban energía del sistema! Bueno, el más pequeño$K$puede ser es si$v=0$y esto significa que las fuerzas de arrastre tienden a llevarte eventualmente a descansar en alguna parte; y el mas pequeño$U$puede ser está en un mínimo de energía potencial y esto significa que las fuerzas de arrastre tienden a llevarte finalmente al reposo en los lugares mínimos de energía potencial. (Pregunta de control: ¿por qué este argumento no funciona para mi taza de café en este momento? Está en mi escritorio, siente fuerzas de fricción: ¿por qué no está en el piso donde la energía potencial es menor?)

Todavía podemos usar esto como un gran principio.

La flotabilidad como consecuencia directa.

Supongamos que tengo una caja de volumen V bajo el agua: ¿se hunde o flota? Eso es fácil, busca la energía potencial mínima. Si lo pongo en el fondo del océano, diremos que esto es$U=0$. Ahora si lo elevo a una altura$H$en relación a eso, ¿qué sucede? Bueno, lo obvio es que tengo que poner la energía.$m g H$para levantar la caja. Pero ¿y el agua? Bueno, un volumen$V$de agua tiene que salir de la nueva altura de la caja$H$y baja hasta la altura$0$para compensar. Entonces la energía total es$U = m g H - \rho V g H.$Y si esto es mayor o menor que 0 (correspondiente a un aumento o disminución, correspondiente a hundimiento o flotación) depende de si$m > \rho V.$Desde$m/V$es la densidad media de la caja, concluimos: las cosas más densas que el agua se hunden, las cosas menos densas que el agua flotan. Esta es también la razón por la que un barco se hunde si tiene un agujero o si sus costados se sumergen en el agua: entonces sus cubiertas comienzan a llenarse de agua, lo que lo hace más y más pesado a medida que el agua reemplaza las bolsas de aire que lo mantenían flotando. eventualmente haciéndolo tan pesado que es más denso que el agua y se hunde.

Cómo esto resuelve tu pregunta

Tenga en cuenta que hay una circunstancia muy especial, sin embargo, cuando la cosa flota hacia la parte superior de la superficie. Nuestro argumento deja de funcionar. Nuestro argumento dice que los barcos deberían asentarse por completo en la superficie del agua; nuestra experiencia dice que se hunden un poco, pero esperemos que no demasiado.

Bueno, el problema es que todavía necesitas traer un volumen.$V$de agua al fondo del océano, pero no todo viene de la altura$H$! Una vez que la caja emerge de la superficie, no es necesario sustraer el agua de la parte superior de la caja para hacer espacio para la caja; el resto del agua necesita ser sustraída de la superficie.

Con un poco de razonamiento, puedes resolver el siguiente principio general: corta un plano imaginario al ras de la superficie del agua y mira cuánto de la caja hay debajo: este volumen es el "volumen desplazado".$V_D$. Luego, una caja flotará hacia la superficie precisamente hasta que$V_D = m / \rho.$Por lo tanto, los barcos se hundirán en el agua a cierta profundidad característica.

Ahora, cuando el cubo de hielo se derrite un poco, no hay mucha agua, y ciertamente no la suficiente para elevar el nivel del agua a la profundidad característica necesaria. Pero eventualmente, cuando el cubo de hielo se ha derretido casi por completo, está en un gran mar de agua y debería estar flotando. La pregunta es: ¿cuál es el punto de corte entre estos dos extremos?

Mi pregunta es, dado que la densidad del hielo <densidad del agua, siempre debería flotar.

La afirmación de que el material menos denso flota en el material más denso suele ser cierta, pero tiene límites y este problema contiene un ejemplo de tales límites.

En el caso de los líquidos, generalmente puede confiar en que la declaración es cierta, pero para los sólidos es más complicado porque no pueden cambiar su forma para adaptarse al recipiente.

Un sólido flota si y solo si puede desplazar una cantidad de líquido igual a su propia masa. En un caso de flotación libre, esto es exactamente lo mismo que su declaración original. Sin embargo, este no es un caso flotante. Al comienzo del proceso de fusión no hay suficiente profundidad de líquido para permitir que el cubo de hielo desplace su masa en el agua. Así, al comienzo del ejercicio, no flota.

Para un argumento intuitivo, tomemos ese mismo cubo de hielo y luego apilemos un enorme bloque de hielo de 10 kg encima. Intuitivamente, debería quedar claro que ese cubo de hielo+bloque de hielo no flotará sobre el agua. La razón más científica por la que no flotará es porque el cubo+bloque de hielo no puede desplazar suficiente agua en el espacio restringido en el que se encuentra. De hecho, al llevar este ejemplo a tal extremo, podemos ver que podemos llegar a una situación en la que hay menos de 10 kg de agua presente en el vaso, en cuyo caso es matemáticamente imposible que desplace suficiente agua.

Ahora que el cubo de hielo se derrite, la historia cambia. Ahora el nivel del agua aumenta (debido al hielo derretido) y el tamaño del cubo de hielo disminuye. A medida que se hace más pequeño, cada vez es más fácil desplazar su masa en el agua (porque la altura del cubo de hielo se hace más pequeña con respecto al nivel del agua) hasta el momento clave del problema donde el cubo de hielo finalmente puede desplazar toda su masa y flota .

Y, si densidad del agua = densidad del objeto, supongamos que lo mantenemos a una profundidad arbitraria H por la fuerza, y luego lo liberamos, ¿sigue flotando solo en esa posición o alcanza una profundidad particular?

Sí, el objeto permanecerá en esa posición. De hecho, lo que encontrará es que la "fuerza" que aplicó en realidad será 0 porque no habrá fuerza de flotabilidad en absoluto. si su fuerza fuera distinta de cero, ¡en realidad encontraría que el objeto aceleraría en la dirección de la fuerza!

Una solución más simple al problema matemático

Cuando el cubo de hielo original de volumen$a_0^3$se ha derretido por completo se reduce a un volumen$ka_0^3$de agua, donde$k$es la relación entre las densidades del hielo y el agua. Esta agua llena el cilindro hasta una profundidad final de$h=\frac{ka_0^3}{A}$dónde$A$es el área de su base.

Ahora imagina que corremos el tiempo hacia atrás desde aquí.

Aparece un pequeño cubo de hielo, flotando en la superficie del agua. Crece, siempre manteniendo su forma cúbica y siempre manteniendo una fracción$k$de su volumen bajo la superficie. A medida que crece, el nivel del agua en el cilindro no cambia, como se explica en ¿ Por qué el hielo al derretirse no cambia el nivel del agua en un recipiente?

Eventualmente, el cubo de hielo en crecimiento llega al fondo del cilindro. Cuando es tan grande como puede llegar a ser mientras sigue flotando, apenas toca el fondo del cilindro, con una cara plana contra el fondo y una fina película de agua en el medio. Las secciones transversales por encima y por debajo del nivel del agua son iguales, y una fracción de volumen$k$está debajo de la superficie, por lo que el lado$a$del cubo en este punto es tal que$ka=h$.

Si el cubo crece más, dejará de flotar, porque no puede expandirse más debajo de la superficie, por lo que no puede mantener una fracción del volumen.$k$debajo de la superficie.

Por lo tanto, cuando el cubo de hielo comienza a flotar, el lado del cubo es

$$a=\frac{h}{k}=\frac{ka_0^3}{kA}=\frac{a_0^3}{A}$$