¿Podemos derivar la teoría clásica del divisor de haz a partir de la imagen del estado de Fock del divisor cuántico de haz?

La forma más limpia de entender los divisores de haz en la óptica cuántica es a través de su acción sobre los operadores de creación y aniquilación, que es la misma que su acción sobre las amplitudes de campo clásicas: si tiene haces de entrada con operadores de aniquilación$\hat a_1$y$\hat a_2$, entonces los operadores de aniquilación de salida$\hat b_1$y$\hat b_2$será dado por

$$\begin{pmatrix} \hat b_1 \\ \hat b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & -t^*\\ t & r^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat a_1 \\ \hat a_2 \end{pmatrix},$$ donde los dos conjuntos están relacionados con una matriz unitaria cuyas entradas son los coeficientes (coherentes) de reflexión y transmisión.

Con esto en la mano:

• Puede calcular la acción del divisor de haz en un estado Fock inicial como

  $$\begin{align} |m⟩|n⟩ & = \frac{(\hat a_1^\dagger)^m}{\sqrt{m!}} \frac{(\hat a_2^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0⟩|0⟩ \\ & = \frac{(r \hat b_1^\dagger + t \hat b_2^\dagger)^m}{\sqrt{m!}} \frac{(-t^* \hat b_1^\dagger + r^*\hat b_2^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0⟩|0⟩, \end{align}$$ por lo que resultará en un producto grande de binomios en diferentes estados de Fock.

• Para el límite clásico, simplemente coloca un estado coherente en cada uno de los puertos de entrada,

  $$\begin{align} |\alpha_1⟩|\alpha_2⟩ & = e^{\alpha_1 \hat a_1^\dagger - \alpha_1^* \hat a_1}e^{\alpha_2 \hat a_2^\dagger - \alpha_2^* \hat a_2}|0⟩|0⟩ \\ & = \exp\left[ \begin{pmatrix}\alpha_1^* & \alpha_2^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat a_1 \\ \hat a_2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat a_1^\dagger \\ \hat a_2^\dagger\end{pmatrix} \right]|0⟩|0⟩ \end{align}$$ y de nuevo se vuelve a expresar el estado en términos de$\hat b_i$colocando la matriz correcta (que luego se transferirá directamente como la misma matriz que actúa sobre el$\alpha_i$, como debería).

Un estado cuántico de luz típicamente se comporta de manera casi clásica si la expectativa del operador numérico en él es muy grande. Esto es esencialmente lo mismo que decir que la escala de energía del sistema es mucho mayor que la energía de un solo fotón.

Si esto último es cierto, el estado cuántico se comporta como una distribución de probabilidad clásica, con un error que converge a cero cuando la expectativa del operador numérico tiende a infinito. Además, la evolución cuántica se aproxima bien a la evolución clásica (en este caso, el electromagnetismo clásico).

La probabilidad clásica correspondiente a un estado cuántico dado es explícitamente caracterizable, la correspondiente a un vector de Fock$\lvert n,m\rangle$, con$n,m\to \infty$,$\frac{n}{m}=\mathrm{const.}$, es un poco complicado de escribir (pero no obstante explícito).

No soy un experto en la teoría de los divisores de haz, por lo que no puedo decir si una descripción semiclásica de dicho sistema es fácil de formular analíticamente. No obstante, uno debería esperar que un divisor de haz cuántico con un estado que tenga una gran cantidad de fotones (es decir, una gran expectativa del operador numérico) se comporte esencialmente como un divisor de haz clásico, aparte de correcciones cuánticas muy pequeñas.