Pelota rodando hacia un recipiente: ¿dónde está su máxima KE (velocidad)... dado que hay fricción? Ver diagrama

sin fricción es obvio

Energía Cinética + Energía Potencial = Constante

por lo que la KE máxima está en la PE más baja, o punto C.

Con la fricción, que induce a rodar, la energía cinética total sigue siendo constante, porque la bola está rodando. Sólo al deslizarse se disipa la energía. La única vez que se desliza sería inicialmente (antes del punto B ). Después de eso y cerca del fondo, estás en puro balanceo y, por lo tanto, la respuesta sigue siendo el punto C.

Al rodar sobre un recipiente circular, la KE es$K=\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m \left(\omega r \right)^2 = m g (H-y)$, y el PE es$P=\frac{1}{2} m g y$ya que una bola rodante que cae tiene un perfil de velocidad de

que es el resultado de las ecuaciones de movimiento

y$y = H + H \sin \left(\frac{r}{H} \theta \right)$con$y$la altura de la pelota y$\theta$su rotación. inicialmente cuando$\theta=0$la posición es$y=H$con$y=0$en el punto C

sin valores concretos sobre la altura AB y BC y el coeficiente de fricción estática, ángulo de inclinación, todo son conjeturas y suposiciones.

para que la esfera en C tenga una KE total más baja que en B, esto requiere que haya una desaceleración después de B, es decir, la fricción DEBE ser igual o superior a la fuerza gravitatoria a lo largo de esa pendiente (es por eso que el ángulo de pendiente es clave). si no se cumple esta condición, la bola continuará acelerando ya sea deslizándose o rodando debido a que la altura BC no es cero; incluso una cantidad minúscula de aceleración definitivamente aumenta la KE total de la esfera sobre la cantidad en el punto B.

Despreciando la KE rotacional.

en una esfera rodante, el 40% de la KE total es rotacional (siempre cierto), usando las siguientes ecuaciones:

Momento de inercia,$I_{sphere}$=$\frac{2}{3}mr^2$

KE rotacional =$\frac{1}{2}I\omega^2$=$\frac{1}{2}\frac{2}{3}mr^2\frac{v^2}{r^2}$, donde v es la velocidad lineal en la circunferencia

=$\frac{1}{3} mv^2$

KE traslacional =$\frac{1}{2}mv^2$

si asumimos que la pelota se desliza de A a B y solo comienza a rodar después de B, y consideramos que la pregunta significa solo KE traslacional (no es razonable en mi humilde opinión), esto representa solo una pérdida del 40% debido a tecnicismos. la ganancia en KE de B a C se reduce en un 40%, más un porcentaje compuesto adicional debido a las pérdidas parasitarias. si asumimos que el porcentaje de pérdidas parasitarias es el mismo en todos los puntos, entonces$\frac{BC}{AC}<0.4.$cumple la condición de que la caída adicional de B a C no suma lo suficiente a la KE de la bola para tener en cuenta la pérdida por rotación, es decir, la bola en C tiene una KE más baja que en B.

Para mi respuesta, hago las siguientes suposiciones: 1. El cuenco/cañón es esférico y es muy poco profundo. 2. La fuerza de fricción es independiente de la rotación.

Igualando todas las fuerzas así:

dónde$\theta$es el ángulo entre el eje vertical y la línea que une el centro del cuenco esférico y la bola. a = aceleración, v = velocidad, c = coeficiente de fricción dependiente de la velocidad. Si$l$es el radio del cuenco esférico, la ecuación se reduce a:

La ecuación diferencial anterior no tiene solución, así que haga una aproximación y tome la serie de Taylor del término del seno. Dado que el tazón es poco profundo, solo servirá el primer pedido de la serie Taylor. (La ecuación diferencial aún no tiene solución para órdenes superiores). El DE se convierte así en:

Que no es más que el oscilador armónico amortiguado con constante de resorte

Dado que la pelota cruza el punto más bajo, probablemente pierda energía; regresa al punto más bajo; oscila alrededor de él y finalmente se detiene. Y, por lo tanto, es seguro asumir que es un oscilador amortiguado. Cualquier gráfica de x para un DHO le dirá que la velocidad máxima se alcanza entre el tiempo = 0 y el momento en que el oscilador alcanza el punto de equilibrio (el punto alrededor del cual oscila) por primera vez. Dado que en este caso el punto de equilibrio es el punto más bajo, la velocidad máxima (KE) se alcanza antes de ese punto. La respuesta (con estas suposiciones) es por lo tanto B.

De A a B tiene lugar un cambio máximo en la energía potencial, esta energía se convierte en energía cinética (tanto de rotación como de traslación), sin embargo, también se pierde algo de energía en forma de calor debido a la fricción, pero la pendiente es de gran magnitud, es seguro asumir que la la fuerza normal será muy pequeña y, por lo tanto, la energía disipada no será muy grande.

Ahora, de B a C, no hay mucho cambio de altura, por lo que definitivamente no se gana mucho KE durante este viaje, sin embargo, debido a su pequeña pendiente, tiene una fuerza normal de gran magnitud, lo que resultaría en una gran disipación de energía. .

$\Delta PE = mgh$
$W_{frictional} = mgcos(\theta)d$

Suponiendo que el viaje de B a C es bastante rectilíneo, ahora que$\theta$es muy pequeño$cos(\theta)$estaría cerca de 1 por lo tanto$cos(\theta)d$sería mayor que$h$porque claramente d es mucho más que h. Dado que se desperdicia más energía en forma de calor debido a la fricción que la que se gana por el cambio en$PE$afirmamos que el **punto B** tiene una KE máxima.