Para el lanzamiento de una etapa de ascenso del módulo lunar Apolo, ¿cuál es el perfil óptimo de ββ\beta (o γγ\gamma) frente al tiempo?

Dadas algunas suposiciones simplificadoras (empuje constante, campo gravitacional constante, vuelo en el vacío, sobre una superficie horizontal plana), que no se ven demasiado socavadas por el caso del ascenso lunar, se sabe que la ley de dirección de la tangente lineal brinda una inserción orbital óptima:

es decir, la tangente del ángulo de paso de empuje cambia linealmente desde el punto en el que comienza la guía de inserción hasta que se alcanza la órbita circular. ¡El problema es que A y B no se derivan fácilmente!

Utilizando una simulación casera utilizando las cifras de estado inicial del informe de la misión Apolo 11 y un muestreo ad-hoc muy crudo de los valores posibles para A y B, la cifra de ∆v restante en la inserción del mejor de los casos que tengo es tan lejos encontrado fue para A = -0.002100, B = 0.8040, es decir:

Donde$t$es el tiempo en segundos desde que el programa de guía toma el control. Mi sim ejecuta un ascenso vertical fijo desde el despegue hasta que la velocidad vertical alcanza los 12 m/s, como la etapa de ascenso real, antes de cambiar a este algoritmo de guía.

Tenga en cuenta que este es el ángulo de empuje deseado, por lo tanto, el ángulo de cabeceo del vehículo comandado en lugar del ángulo de la trayectoria de vuelo.$\gamma$que pediste, aunque los dos deberían tender a converger hacia el final de la carrera. Si le importa la distinción, probablemente haya algún cálculo disponible para derivar$\gamma$de$\theta$, o podría sacar los datos de mi sim.

El estado del simulador en la inserción y el corte era una órbita de 18,14 km x 87,58 km, altitud de 18,36 km, velocidad lunacéntrica de 1687,57 m/s, ∆v restante disponible de 182,18 m/s. El programa de tono toma el control en T+7,21 segundos y el corte es en T+436,66 segundos (alrededor de 1,5 segundos antes que el valor nominal y alrededor de 1,5 segundos después del rendimiento real del Apolo 11). Se gastaron 2218 kg (4889 lbs) de propulsor; esto se compara favorablemente con el informe de planificación de la misión , con un ascenso nominal que requiere 4966 libras, pero no está claro si la diferencia se debe a aspectos poco realistas de mi simulación ^† o una mejora real en la trayectoria. No pude encontrar un calendario de lanzamientos para el ascenso real volado; Podría hacer una comparación justa en el simulador si tuviera eso.

Según esta muy completa guía de los programas de descenso y ascenso del LM , la guía de ascenso se actualiza en un ciclo de dos segundos, lo que provoca la discretización del cabeceo observado en los videos.

^† : Por ejemplo: mi vehículo simulado adopta instantáneamente una actitud comandada, mientras que el LM real no lo hace. La boquilla y la garganta del motor de ascenso LM real se erosionan durante el vuelo, cambiando ligeramente su impulso específico, mientras que mi sim usa un valor intermedio fijo para el impulso específico para todo el ascenso.