Para calcular las funciones de correlación de una cadena de espín XX, se utiliza el teorema de Wick. ¿Pero es válido para una cadena de cualquier tamaño?

Las funciones de correlación encontradas en el artículo de Barouch y McCoy (PRA 3, 2137 (1971)) para la cadena de espín XX usan un método que usa el teorema de Wick. Para la función de correlación zz, esto da

⟨ σ yo z σ yo + R z ⟩ = ⟨ σ yo z ⟩ 2 − GRAMO R 2

para donde R = 1 , GRAMO 1 = − ⟨ σ yo X σ yo + 1 X + σ yo y σ yo + 1 y ⟩ / 2 .

si calculo ⟨ σ yo z σ yo + 1 z ⟩ tanto explícitamente como usando la ecuación anterior para 8 qubits, obtengo diferentes respuestas.

Entonces, ¿el teorema de Wick sigue siendo válido para 8 qubits, lo que significa que acabo de cometer un error? ¿O es válido solo en el límite termodinámico?

Gracias

Editar:

Gracias por sus respuestas a todos. @lcv Sin embargo, no he usado la diagonalización analítica para esto: simplemente he usado Mathematica para diagonalizar numéricamente la cadena de 8 qubits después de sustituir valores arbitrarios por la fuerza de acoplamiento, el campo magnético y la temperatura. Por lo tanto, no puede ser un error en la diagonalización. Es la media térmica que he calculado, es decir ⟨ σ yo z ⟩ = t r ( ρ σ yo z ) dónde ρ = mi − H / T / t r ( mi − H / T ) y T es la temperatura. Pero al hacer esto, encuentro que ⟨ σ yo z σ yo + R z ⟩ ≠ ⟨ σ yo z ⟩ 2 − GRAMO 1 2 donde he definido GRAMO 1 arriba.

Edit2 (@marek @lcv @Fitzsimons @Luboš) Voy a tratar de aclarar: el hamiltoniano XX abierto en un campo magnético es

H = − j 2 ∑ yo = 1 norte − 1 ( σ yo X σ yo + 1 X + σ yo y σ yo + 1 y ) − B ∑ yo = 1 norte σ yo z

En Mathematica, he definido las matrices de espín de Pauli, luego el hamiltoniano para 8 qubits. Luego pongo valores para j , B y T , y calcule la matriz de densidad térmica,

ρ = mi − H / T t r ( mi − H / T )

Así que ahora tengo matriz de densidad numérica. entonces calculo ⟨ σ yo z σ yo + 1 z ⟩ = t r ( ρ σ yo z σ yo + 1 z ) utilizando las definiciones de las matrices de espín de Pauli y ρ .

A continuación calculo ⟨ σ yo z σ yo + R z ⟩ usando el resultado del teorema de Wick que da ⟨ σ yo z ⟩ 2 − GRAMO R 2 para donde R = 1 , GRAMO 1 = − ⟨ σ yo X σ yo + 1 X + σ yo y σ yo + 1 y ⟩ / 2 . Vuelvo a usar las matrices de espín de Pauli que definí y el mismo número ρ para calcularlos.

Pero obtengo una respuesta diferente (numérica) para cada uno de estos.

El teorema de Wick no depende de la temperatura del sistema. Al menos, no que yo sepa. Y también es cierto para cualquier número (finito) de campos, o en su caso, qubits. ¿Crees que podrías dar más detalles sobre el "método" en el documento de PRA?
Básicamente usa eso ⟨ σ yo z σ yo z ⟩ = ⟨ A yo B yo A yo + R B L + R ⟩ dónde A yo = ( a yo † + a yo ) y B yo = ( a yo † − a yo ) . los a yo ( † ) s provienen de usar la transformación de Jordan-Wigner para cambiar los espines en fermiones. Luego, usando el teorema de Wick, ⟨ A yo B yo A yo + R B L + R ⟩ = ⟨ A yo B yo ⟩ ⟨ A yo + R B L + R ⟩ − ⟨ A yo A yo + R ⟩ ⟨ B yo B L + R ⟩ + ⟨ A yo B L + R ⟩ ⟨ B yo A yo + R ⟩ .
Como dice space_cated, el teorema de Wick no depende en absoluto de la temperatura. Que yo sepa, es solo una identidad combinatoria. Voy a mirar el papel y ver si puedo ayudar.
Gracias por su ayuda, pero sé que no depende de la temperatura. Por límite termodinámico, me refiero al número de qubits en la cadena que tiende a infinito.
@Jane: ¿podría explicar qué quiere decir con 8 qubits? Y también, ¿cómo puede extraer directamente los valores de equilibrio termodinámico? Porque no me queda claro dónde se fue toda la complejidad de la ecuación (2.17) y cómo puedes evitarla.
@Jane: Dices que has calculado respuestas diferentes, entonces, ¿has probado otros tamaños de sistemas, digamos 2 qubits o 4 qubits u otros, para confirmar que hay una diferencia con el papel?
@hwlau: el documento solo habla sobre el límite termodinámico (al menos GRAMO R se define de esa manera en (2.17)), es decir, tamaño infinito. Las respuestas no pueden concordar si Jane estaba calculando con un número finito de giros. Por eso preguntaba. Por supuesto, definitivamente es posible que me haya perdido algo y lo que está haciendo Jane es perfectamente correcto. Si es así, házmelo saber.
No he usado las ecuaciones en el documento para esto: entiendo el caso límite termodinámico y puedo derivar todas las funciones de correlación. Es solo el teorema de Wick que he usado para el caso de 8 qubit. GRAMO 1 No es el GRAMO 1 en el papel - es lo que he escrito arriba.
quise decir GRAMO 1 no es la termodinamica GRAMO 1 en el papel.
@Jane, ¿estás seguro de que tanto tu derivación como el hamiltoniano que le das a la computadora tienen las mismas condiciones de contorno?
@wsc para los 8 qubits, no hago una derivación (si entendí lo que quieres decir). Responderé en la parte superior ya que los detalles quizás sean relevantes para cualquiera que responda la pregunta.

Respuestas (3)

Los modelos de espín XX (y más generalmente XY) se han vuelto muy populares últimamente, especialmente en conexión con problemas teóricos de información cuántica. El modelo XY (aunque sin campo magnético) fue introducido y resuelto adecuadamente en 1961 por Lieb, Schultz y Mattis (Ann. Phys. 16, 407, (1961)). Por cierto, esta es una excelente referencia para comenzar, si aún no leyó este documento. Sin embargo, en muchos artículos recientes, este modelo se resuelve incorrectamente, y este podría ser el origen de la discrepancia que observaste. Déjame abordar tu punto.

Primero, imagino que el promedio al que se refiere es el promedio del estado fundamental: es decir, digitaliza el hamiltoniano, toma el vector propio relacionado con el valor propio más bajo y calcula los promedios estadísticos con este vector. Dicho esto, para especificar completamente el problema debes asignarle unas condiciones de contorno (BC). Por muchas razones (que no entraré aquí), la condición de contorno más adecuada es la periódica (PBC) para los espines. Con esto quiero decir σ L + 1 α = σ 1 α , L siendo el tamaño del sistema. Cuando asigna el problema de espín a uno fermiónico a través del mapeo de Jordan-Wigner (JW), el hamiltoniano se convierte en el de los fermiones libres más un término fronterizo peculiar. Esto se debe a que la cadena JW se acumula en el enlace que acopla los espines 1 y L. El resultado es que un modelo de espín XY (o XX) con PBC es equivalente a un modelo de fermiones libres con condiciones de contorno dependientes de la paridad (el operador de paridad es PAGS ∼ ∏ σ i z ∼ ( − 1 ) norte , y norte es el operador de número total en la imagen de Fermi, y el ∼ El símbolo ignora los factores potenciales de i ). En el sector de paridad 1 (que comprende el estado fundamental), los BC son antiperiódicos (es decir, C L + 1 = − C 1 para los operadores de Fermi C i ). Esto se reduce a cuasimomentos antiperiódicos cuando haces la transformada de Fourier: k norte = π ( 2 norte + 1 ) / L con norte = 0 , 1 , … , L − 1 . Si, en cambio, elige condiciones de frontera abierta, tampoco hay un término de frontera funky en el problema fermiónico, pero la diagonalización de una cadena abierta es un poco más engorrosa.

Esta podría ser una fuente de errores.

Otra posible fuente de error es la degeneración (pero este no debería ser tu caso). Cuando diagonalice el hamiltoniano, debe verificar que el estado fundamental sea único. En un sistema cuasi-libre, tiene estados fundamentales degenerados cuando la dispersión de una partícula se vuelve exactamente cero para algún cuasimotor. Esto, por ejemplo, se sabe que sucede en una cadena fermiónica libre pura con interacción con el vecino más cercano y PBC, cuando el tamaño L es múltiplo de 4.

Como dije, una gran referencia es el artículo de Lieb, Schultz y Mattis, donde se presenta el procedimiento preciso de diagonalización. Las condiciones de contorno también se analizan en un artículo mío reciente (PRA 81, 060101 (2010)) o en el libro de M. Henkel, Conformal invariance and Critical Phenomenos .

Espero que esto ayude.

mejor lorenzo

El teorema de Wick funciona para un número arbitrario de estados equipados con sus osciladores de creación y aniquilación. De la misma manera, el teorema de Wick para giros se aplica a una colección de un número arbitrario de giros, o qubits, que es lo mismo si su giro es 1 / 2 . El teorema de Wick es solo una identidad matemática que funciona incluso para, y especialmente para, un número finito de qubits y/o un número finito de operadores de creación y aniquilación.

Entonces no puede ser el caso que la fuente de la discrepancia se esconda en el teorema de Wick. Sin embargo, para descubrir el motivo de la discrepancia, probablemente tendría que ser más específico acerca de lo que calculó (¿el valor esperado en qué estado? ¿Por qué la forma original del valor esperado no es ya buena como un "resultado"? En ¿De qué forma quieres el resultado?) para que otros aíslen el error o la sutileza. Otros podrían incluso calcular el resultado correcto, evitando errores, pero no está claro en el texto qué es exactamente lo que desea que calculen.

Mis mejores deseos Luboš

Como menciona Lubos, el teorema de Wick es cierto para cualquier número de partículas. Esto se debe simplemente a que ofrece una forma diferente de expresar un operador de dos qubits y, por lo tanto, no tiene nada que ver con el sistema al que se aplica.

Si el campo magnético es 0 y los acoplamientos son constantes, una cadena de espín XX se puede diagonalizar mediante una transformada de Fourier, por lo que es posible que desee intentar el cálculo mediante este enfoque. Esto solo funcionará para un anillo y no para una cadena lineal.

Creo que el problema que está teniendo se debe a la longitud finita de la cadena, pero se esconde en un lugar diferente. Permítanme explicar por qué: para una cadena de 2 qubit, el operador de correlación conmuta con el hamiltoniano; sin embargo, esto no es cierto para cadenas más largas, por lo que esperaríamos obtener resultados diferentes para el R = 1 correlación en el caso de una cadena de dos qubits y el caso de una cadena de 3 qubits. Por lo tanto, parece claro que estás enterrando la longitud de la cadena en alguna parte. Si tuviera que adivinar, diría que probablemente sea un efecto de borde que se omitió al hacer la transformación de Jordan-Wigner o en su cálculo explícito, pero obviamente no puedo estar seguro sin ver ambos cálculos explícitamente.

Espero que esto sea útil.

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