Papel de los valores numéricos del índice politrópico

Como señaló @ CountTo10: obtener una ecuación de estado (EoS) "realista" es difícil: para obtener estrellas de neutrones con masas, radios y gradientes realistas, se necesitaría una EoS que contenga diferentes politropos para las diferentes regiones. Encontrar los correctos y construir una EoS adecuada y termodinámicamente consistente con ellos es difícil y el resultado no será único.

Dicho esto, si uno está interesado en un EoS simple que consta de un solo politropo para probar números o simplemente jugar, puedo recomendar los presentados, por ejemplo, por Bonazzola et al. 1993 :

$$\begin{align} \epsilon(n)&=m_Bn+\frac{\kappa\epsilon_0}{\gamma-1}\left(\frac{n}{n_0}\right)^\gamma,\\ p(n)&=\kappa\epsilon_0\left(\frac{n}{n_0}\right)^\gamma. \end{align}$$

Dónde$n$es la densidad numérica bariónica,$\epsilon$la densidad de energía y$p$la presión.$\kappa$y$\gamma$son parámetros adimensionales,$m_B$es la masa bariónica media$m_B=931.2\,\mathrm{MeV}$y$n_0$y$\epsilon_0$son números arbitrarios y densidades de energía. Para la materia de estrellas de neutrones, los valores alrededor de la densidad nuclear son apropiados, por ejemplo$n_0=0.1\, \mathrm{fm}^{-3}$y$\epsilon_0=m_B n_0=93.1\, \mathrm{MeV}\mathrm{fm}^{-3}$. Con esos valores adecuados$\kappa$están alrededor$0.05$y$\gamma\sim2$. Las relaciones anteriores se pueden invertir para dar una expresión$\epsilon(p)$:

$$\epsilon(p)=\frac{m_B}{n_0} (\frac{p}{\kappa\epsilon_0})^{1/\gamma}+ \frac{p}{\gamma-1}.$$ Usando tal ecuación de estado, uno puede resolver las ecuaciones de estructura estelar relativista general (ecuaciones TOV) para obtener masas y radios en dependencia de EoS y presión central (o densidad central equivalente):

A la izquierda, la masa sobre el radio ya la derecha, la masa sobre la densidad bariónica central. Las cruces marcan estrellas con masa máxima, los puntos estrellas con compacidades específicas y las líneas punteadas configuraciones inestables. Las tres curvas corresponden a diferentes EoS politrópicas con$(\kappa|\gamma)$.

Como puede ver, las configuraciones son bastante sensibles a pequeños cambios en$\kappa$y$\gamma$ya que ambos afectan la rigidez general de la EoS:$\gamma$especialmente en el régimen de alta presión y$\kappa$especialmente en el régimen de baja presión.

Los tres que se muestran aquí funcionan bien: las masas y los radios están en escalas típicas de estrellas de neutrones y los gradientes de densidad y presión tampoco se ven mal. Pero las capas exteriores de las estrellas de neutrones y los radios en detalle no son realistas, ya que se necesitaría una EoS para la corteza; ya sea un politropo diferente o una EoS tabulada realista como BPS o NV. Pero para probar números y jugar, esos politropos son muy adecuados.

En mis cálculos utilizo el EoS con rigidez media con$\kappa=0.05$y$\gamma=2$ya que tiene una bonita masa máxima de 2.233 masas solares y unos bonitos radios intermedios de unos 15 km. Sin duda, se podría jugar un poco para llegar a 2 masas solares con radios más pequeños ajustando$\kappa$y$\gamma$levemente.

Observo que recientemente recibió una respuesta sobre una pregunta relacionada Presión y densidad de una estrella de neutrones .

Solo puedo agregar este extracto e imágenes de una Wikipage que quizás ya haya leído, Wikipedia Polytropes y sugerir (de manera inadecuada, lo agradezco) que interpole adecuadamente entre la (lamentablemente) pequeña gama de diferentes modelos proporcionados.

Modelos de ejemplo por índice politrópico

Densidad (normalizada a densidad promedio) versus radio (normalizada a radio externo) para un politropo con índice n=3.

Las estrellas de neutrones están bien modeladas por politropos con un índice en el rango entre = 0,5 y n = 1.

Un politropo con índice n = 1,5 es un buen modelo para núcleos estelares totalmente convectivos (como los de las gigantes rojas), enanas marrones, planetas gaseosos gigantes (como Júpiter) o incluso para planetas rocosos.

Las estrellas de secuencia principal como nuestro Sol y los núcleos degenerados relativistas como los de las enanas blancas suelen modelarse mediante un politropo con índice n = 3, que corresponde al modelo estándar de estructura estelar de Eddington.

Un politropo con índice n = 5 tiene un radio infinito. Corresponde al modelo plausible más simple de un sistema estelar autoconsistente, estudiado por primera vez por A. Schuster en 1883.

Un politropo con índice n = ∞ corresponde a lo que se llama una esfera isotérmica, es decir, una esfera isotérmica de gas autogravitatoria, cuya estructura es idéntica a la estructura de un sistema de estrellas sin colisión como un cúmulo globular.

En general, a medida que aumenta el índice politrópico, la distribución de la densidad se inclina más hacia el centro (r = 0) del cuerpo.

En este libro se cubre una mirada más detallada al índice apropiado que se utilizará: Estrellas de neutrones: Ecuaciones de estado :

A continuación se incluye un ejemplo típico de los detalles contenidos en este libro y la metodología utilizada para determinar las ecuaciones de estado:

Si$T <<T_F$, los electrones están casi libres (§ 4.1.2), y el campo magnético puede considerarse constante (y, por lo tanto, libre de fuerzas) en una parte local de la delgada envoltura exterior, ecuación. (6.62) es válida para cualquier intensidad de campo B. Por tanto, la estructura de la envolvente se describe de nuevo mediante una solución autosimilar. Sin embargo, el carácter de la solución en$\rho < \rho _B$es diferente. En particular, en la Ec. (6.63) se debe reemplazar el parámetro de relatividad de electrones no magnéticos$x_r$por el parámetro$x_B$que es apropiado para un campo magnético fuertemente cuantificado. En este caso, una determinada profundidad geométrica z corresponde a una mayor densidad p. Trazamos el$\rho (z)$y$\Delta M(z)$perfiles en la envoltura de la estrella de neutrones para$B = 10^{12}$G y$10^{13}$G. Por ejemplo, el campo magnético$B = 10^13$G afecta fuertemente la distribución de densidad en la capa$\rho < \rho_B$norte$10^6 g cm^{-3}$, situado en$z < 3$metro. De acuerdo con la Ec. (4.30), la densidad en la parte inferior de esta capa escala como$B^{3/2}$. La ecuación (4.32) muestra que la EOS en esta capa es politrópica, pero el índice politrópico difiere del de$B = 0$; ahora es igual a$n = 2(y = 3)$o$n = 1 (y = 2)$para los gases de electrones no relativistas o ultrarrelativistas, respectivamente.

Aquí está (un ejemplo) de exactamente lo que necesita. Esta es una gráfica del índice adiabático (definido como$\gamma = (\rho + P/c^2) dP/d\rho$), versus densidad, proporcionada por Douchin & Haensel (2001) , junto con la correspondiente ecuación de estado (unidades cgs).

Hay tanta física hermosa en exhibición aquí.

La corteza exterior tiene$\gamma \simeq 4/3$dominado por EDP ideal de electrones degenerados relativísticamente. El índice adiabático cae por debajo de este a medida que aumenta la densidad debido al decaimiento beta inverso. En$\rho \sim 4\times 10^{11}$gramos/cm$^3$hay un reblandecimiento abrupto a medida que los neutrones gotean fuera de los núcleos en la corteza interna (la corteza interna y la externa están separadas por la línea punteada). Luego, a medida que aumenta la densidad, también aumenta la densidad de neutrones y el valor de$\gamma$se aproxima a la de la presión de degeneración no relativista para los neutrones (5/3). La línea discontinua marca la transición de la corteza interna sólida a un núcleo líquido. El índice adiabático luego crece aún más a medida que los neutrones se acercan lo suficiente como para sentir la fuerza nuclear fuerte repulsiva. Una pequeña muesca en el índice adiabático marca la aparición de muones. Finalmente, hay un reblandecimiento a densidades extremadamente altas causado por el aumento de la fracción de protones.

Por supuesto, vale la pena enfatizar que los valores a la derecha de la línea discontinua son teóricamente bastante polémicos e inciertos. En esta ecuación de estado parece que no se tiene en cuenta la (posible) aparición de grados de libertad hadrónicos adicionales (por ejemplo, hiperones) o una transición a materia de quarks. Este sabor particular de la ecuación de estado predice una masa máxima para una estrella de neutrones de poco más de$2.05 M_{\odot}$, por lo que es compatible con las restricciones observacionales actuales.