Oscilador Colpitts: teniendo problemas para respetar el criterio de Barkhausen, ¿este criterio es insuficiente allí?

Estoy tratando de simular un oscilador Colpitts.

He determinado la función de transferencia del filtro de paso bajo de este circuito:

llegué a esta expresión:$H(j\omega)=\frac{1}{1-LC_2\omega^2+jR_3\omega(C_2+C_1-LC_1C_2\omega^2)}$

Tracé el diagrama de Bode con Python del filtro de paso bajo pi:

Con:

$C_1=C_2=470pF$

$L=100µH$

$R_3=220$

Gráfica de fase: Gráfica de ganancia:

El punto rojo indica la frecuencia ($f_0$) que cambia la fase de la señal de entrada en 180 grados:

$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}}$

$f_0$se supone que es la frecuencia de oscilación, porque hace con el amplificador inversor un$2\pi$cambio de fase total incluyendo el filtro.

me sale con los valores dados:

$|H(j\omega_0)|=1$

$arg(j\omega_0)=-\pi$

elijo usar$R2=R1=1k\Omega$

Entonces la función de transferencia del amplificador operacional es (amplificador inversor):$T(j\omega)=\frac{-R_2}{R_1}=-1$

Luego viene el criterio de Barkhausen:

$|T(j\omega)*H(j\omega_0)|=1$

$arg(T(j\omega)*H(j\omega_0))=0 [2\pi]$

Desde mi punto de vista, el criterio se respeta.

Sin embargo, esta simulación falla y no entiendo por qué. Parece que la retroalimentación es demasiado débil, pero se supone que la ganancia es 1, lo suficiente para sostener las oscilaciones.

He leído en esta página que Barkhausen es una condición necesaria pero no suficiente para obtener oscilaciones.

¿Hay una condición que me estoy perdiendo allí?

ACTUALIZACIÓN: la respuesta de TimWescott, primer punto, me ayudó mucho. Al incluir R1 en mis cálculos, ahora obtengo esta función de transferencia:

$H(j\omega)\frac{1}{1 + \frac{R_3}{R_1} - L\omega^2(C_2+C_1\frac{R_3}{R_1})+j(\frac{L\omega}{R_1} - R_3C_1C_2\omega^2(L\omega-\frac{1}{C_e \omega}))}$

Con$C_e=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$

El$f_0$frecuencia (que produce el cambio de fase de 180°) es ahora:

$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{R_1R_3C_1C_2}+\frac{1}{LC_e}}$

Vale la pena notar la dependencia de$f_0$al$R_1,R_2$- que no era el caso antes de tener en cuenta$R_1$.

Este resultado contradice muchas fórmulas dadas en artículos sobre este oscilador, como este .

Sin embargo, parece funcionar, al menos en Falstad sim .

Con los mismos valores que los dados arriba - y$R_1=1k\Omega$:

$|H(j\omega_0)|=0.412$

De este modo$|T(j\omega_0)|=\frac{1}{|H(j\omega_0)|}=2.42$

Entonces, con$R_3=1k\Omega, R_2\geqslant2.42k\Omega$que es precisamente el valor que sustenta las oscilaciones (según Falstad).

Además, según mis cálculos:$f_0=1.092MHz$que es la frecuencia mostrada por Falstad. Esto no es igual a$\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}}=1.038MHz$.

O hay un problema con Falstad (probaré SPICE sim pronto) o la frecuencia dada en el artículo (y muchos otros sobre este circuito) es, ligeramente en este ejemplo, incorrecta. Sin embargo, la brecha se amplía cuando$C_1$y$C_2$los valores se reducen.