Ondas en el agua siempre circulares.

Question

Ondas en el agua siempre circulares.

sid

He tenido una pregunta desde la infancia. ¿Por qué siempre obtenemos ondas circulares (ondulaciones) en el agua incluso cuando arrojamos un objeto de forma irregular en ella?

kennytm

¿Supongo que ese objeto de forma irregular es pequeño en comparación con las ondas?

usuario68

¿Incluso para un palo largo?

Respuestas (6)

Ondas en el agua siempre circulares.

¿Supongo que ese objeto de forma irregular es pequeño en comparación con las ondas?

Sklivvz · Answer 1

En realidad, las ondas no son circulares en absoluto. Ver foto a continuación.

texto alternativo

Por ejemplo, un palo largo generará un frente de agua recto desde sus lados y ondas circulares desde sus bordes. Algo similar a un rectángulo donde los dos lados cortos se reemplazan por semicírculos.

A medida que las olas se extienden, el frente recto conservará su longitud, mientras que los lados circulares crecerán en círculos cada vez más grandes, de ahí la impresión de que en una gran masa de agua las olas terminan siendo circulares; no lo son, pero están muy cerca.

Por lo tanto, la razón por la que un objeto irregular genera ondas "circulares" es la siguiente: a medida que las ondas se propagan, las irregularidades se mantienen pero se extienden a lo largo de un frente de onda circular cada vez más grande.

Un muy buen ejemplo de este fenómeno es el Fondo Cósmico de Microondas (CMB), donde se miden las ondas electromagnéticas del Big Bang después de haberse propagado durante 13.700 millones de años. Aunque el CMB es muy, muy suave, debido al efecto de "ondulación circular", si lo desea, todavía podemos medir pequeñas irregularidades, que creemos que se deben a la "forma irregular" del Big Bang en un momento determinado.

texto alternativo

El nombre habitual para "a medida que las ondas se propagan, las irregularidades se mantienen pero se extienden a lo largo de un frente de onda circular cada vez más grande" es el principio de Huygen en.wikipedia.org/wiki/Huygens%27_principle

nick p · Answer 2

Veo que esta pregunta ya tiene una respuesta aceptada, pero agregaré algunas notas generales para completar.

Comenzamos con la cuestión de cómo una superficie libre, es decir, la interfaz entre dos fluidos, responde a una perturbación de presión (es decir, tensión normal).

Este es el problema de Cauchy-Poisson. Cauchy resolvió este problema en 1815 a la edad de 26 años, originalmente una cuestión de premio planteada por la Academia de Ciencias de Francia. Poisson, uno de los jueces, agregó a esto en su artículo de 1816, y Cauchy publicó su trabajo en sus memorias de 1827. , con varios cientos de páginas adicionales de notas.

Ahora, consideramos una cuenca de agua infinitamente profunda e infinita con una superficie inactiva en $z=0$ , por encima del cual hay aire, que por simplicidad suponemos tiene presión $P_\textrm{atm}=0$ . Suponemos que la única fuerza restauradora aquí es la gravedad, ya que estamos pensando en modelar las características de grano grueso de la respuesta del fluido. Tenga en cuenta que este escenario es diferente a la imagen que muestra @Sklivvz, en la que están presentes los efectos capilares. Estos efectos son muy interesantes, y al final de esta publicación haré algunos comentarios sobre este fenómeno.

Comenzamos suponiendo que el flujo es irrotacional, lo que significa que existe un potencial de velocidad $\phi$ , dónde $\nabla \phi = \textbf{u}$ , con $\textbf{u}$ la velocidad del fluido, tal que $\nabla^2\phi =0$ por todas partes en el agua. Las condiciones en la superficie libre. $z=\eta$ son

\begin{matrix} (i) & η_{t} + \nabla ϕ \cdot \nabla η = ϕ_{z}, \end{matrix}

$\begin{equation} \eta_t+\nabla \phi \cdot \nabla \eta= \phi_z,\tag i \end{equation}$ es decir, la condición de contorno cinemática, que obliga a las partículas de fluido en la superficie a permanecer en la superficie, y

\begin{matrix} (ii) & ϕ_{t} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + gramo z = 0, \end{matrix}

$\begin{equation} \phi_t+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 +gz = 0,\tag{ii} \end{equation}$

que es la condición de frontera dinámica, asegurando la continuidad de la presión a través de la interfase.

Finalmente, tenemos la condición de que no hay flujo en el fondo, es decir

\begin{matrix} (iii) & ϕ_{z} \to 0 a s z \to - \infty \end{matrix}

$\begin{equation} \phi_z \to 0 \quad as \quad z\to -\infty\tag{iii} \end{equation}$

Ahora, aunque la ecuación gobernante es lineal (es la ecuación de Laplace), las condiciones de contorno no son lineales y se evalúan en una de las variables que estamos resolviendo, a saber $\eta$ . Entonces, para avanzar, asumimos que las velocidades y las alturas de la superficie son débiles/pequeñas, de modo que podamos linealizar estas ecuaciones y evaluarlas en $z=0$ . Las condiciones de contorno se convierten en

\begin{matrix} (i') & η_{t} = ϕ_{z}, \end{matrix}

$\begin{equation} \eta_t = \phi_z,\tag{i'} \end{equation}$ y

\begin{matrix} (ii') & ϕ_{t} + gramo η = 0, \end{matrix}

$\begin{equation} \phi_t +g\eta = 0 ,\tag{ii'} \end{equation}$ donde nuevamente, estos se evalúan en

z = 0

$z=0$ . Ahora, para una onda particular con número de onda

k

$k$ , la solución a la ecuación de Laplace, con la condición (iii), se puede encontrar suponiendo una separación de variables, lo que implica

ϕ = ζ (X, y, t) {mi}^{k z} .

$\begin{equation} \phi = \zeta(x,y,t) e^{kz}. \end{equation}$

Esto significa que la ecuación de Laplace se convierte en

\nabla^{2} ϕ = ϕ_{X X} + ϕ_{y y} + k ϕ_{z} = 0,

$\begin{equation} \nabla^2 \phi = \phi_{xx}+\phi_{yy}+k\phi_z = 0, \end{equation}$

que, sustitución abierta de $(i')$ y $(ii')$ se convierte

ϕ_{t t} - \frac{gramo}{k} \nabla_{H}^{2} ϕ = 0,

$\begin{equation} \phi_{tt} - \frac{g}{k}\nabla^2_H \phi =0, \end{equation}$

dónde $\nabla_H \equiv \partial_{xx}+\partial_{yy}$ y reconocemos $\frac{g}{k}$ como el cuadrado de la velocidad de la fase de aguas profundas, de modo que lo anterior es una ecuación de onda 2d. Tenga en cuenta que estas ondas son dispersivas, es decir, la velocidad de fase depende inversamente del número de onda. Las ondas largas viajan más rápido que las ondas cortas.

A continuación, suponemos que las soluciones son oscilatorias en el tiempo (lo que puede demostrarse formalmente que es el caso cuando suponemos que $\zeta$ es separable en espacio y tiempo), con frecuencia $\omega(k)=\sqrt{gk}$ , es decir $\zeta = \psi(x,y)e^{-i\omega t}$ , de modo que nuestra ecuación gobernante se convierte en

\nabla_{H}^{2} ψ + k^{2} ψ = 0,

$\begin{equation} \nabla^2_H \psi + k^2 \psi=0, \end{equation}$

que reconocemos como la ecuación de Helmholtz. (Los $k$ en la relación de dispersión $\omega(k)$ para la propagación a lo largo de la superficie es igual a $k$ en $e^{kz}$ debido a la ecuación de Laplace.)

Ahora, comencemos con el caso en el que asumimos que nuestra solución tendrá una simetría circular y construyamos casos más interesantes a partir de ahí. Transformamos nuestra ecuación gobernante en coordenadas polares $(r,\theta)$ encontrar

ψ_{r r} + \frac{1}{r} ψ_{r} + k^{2} ψ = 0.

$\begin{equation} \psi_{rr} +\frac{1}{r}\psi_r +k^2 \psi = 0. \end{equation}$

Esta es una ecuación de Bessel con solución $\psi = J_o(kr)$ , dónde $J_o$ es una función de Bessel de orden cero del primer tipo.

Este análisis se realizó para un número de onda $k$ , pero nuestros operadores son todos lineales por lo que en general la solución será una superposición lineal de estas ondas, es decir

η (r, θ, t) = \int_{0}^{\infty} F (k) j_{o} (k r) {mi}^{- i ω (k) t} d k,

$\begin{equation} \eta(r,\theta,t) = \int_0^{\infty}f(k) J_o(kr)e^{-i\omega(k)t} \ dk, \end{equation}$

dónde $f(k)$ representan los coeficientes de modo, que están determinados por las condiciones iniciales.

Por ejemplo, si consideramos la respuesta del fluido a una perturbación puntual, tenemos

η (r, θ, 0) = d (r),

$\begin{equation} \eta(r,\theta,0) =\delta(r), \end{equation}$

dónde $\delta$ es la función delta de dirac. Encontramos $f(k)$ por la transformada de Hankel, que nos dice

F (k) = \int_{0}^{\infty} d (r) j_{o} (k r) d r = 1.

$\begin{equation} f(k)= \int_0^{\infty} \delta(r) J_o(kr) \ dr =1. \end{equation}$

Por lo tanto, la ecuación gobernante es

η (r, θ, t) = \int_{0}^{\infty} j_{pags} (k r) {mi}^{- i ω (k) t} d k .

$\begin{equation} \eta(r,\theta,t) = \int_0^{\infty} J_p(kr)e^{-i\omega(k)t} \ dk. \end{equation}$

Estas integrales (relacionadas con las transformadas de Hankel) son notoriamente difíciles de resolver y, por lo general, solo se avanza en condiciones asintóticas, cuando se puede aplicar el método de la fase estacionaria. Por ejemplo, bajo el supuesto $gt^2/r \ll 1$ , encontramos (para más detalles ver Lamb, 1932, sección 239)

η (r, θ, t) \sim \frac{\sqrt{gramo} t}{r^{\frac{5}{2}}} (porque gramo t^{2} / 4 r - pecado gramo t^{2} / 4 r) .

$\begin{equation} \eta(r,\theta,t) \sim \frac{\sqrt{g}t}{r^{\frac{5}{2}}}\left(\cos gt^2/4r - \sin gt^2/4r\right). \end{equation}$

A continuación se muestra una solución de muestra. Ondas simétricas

Entonces, ¡finalmente hemos desarrollado parte de la maquinaria necesaria para hablar sobre su pregunta! Suponiendo que dejar caer un objeto en el agua genera ondas que son lineales (esto es claramente discutible para ciertos objetos, así como las escalas de tiempo/longitud que le preocupan, pero es un punto que no abordaré aquí), podemos usar la superposición para modelar un objeto como una serie de puntos de excitación.

Por ejemplo, ¿qué sucede cuando arrojamos un palo al agua? Bueno, si modelamos esto como una superposición de un grupo de fuentes puntuales a lo largo de la $y=0$ eje, encontramos que la solución se parece a

η (X, y, t) = \sqrt{gramo} t^{2} \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{((X - X_{norte})^{2} + y^{2})^{\frac{5}{2}}} (porque \frac{gramo t^{2}}{4 \sqrt{(X - X_{norte})^{2} + y^{2}}} - pecado \frac{gramo t^{2}}{4 \sqrt{(X - X_{norte})^{2} + y^{2}}}),

$\begin{equation} \eta(x,y,t) =\sqrt{g}t^2 \lim_{N\to \infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \frac{1}{((x-x_n)^2+y^2)^{\frac{5}{2}}} \left(\cos \frac{gt^2}{4\sqrt{(x-x_n)^2+y^2}} - \sin \frac{gt^2}{4\sqrt{(x-x_n)^2+y^2}}\right), \end{equation}$

dónde $x_n = n/N$ , por ejemplo. Localmente, esta perturbación no producirá anillos simétricos y, de hecho, tendrá regiones que tienen una curvatura muy mínima. Sin embargo, por $x\gg x_n$ , esto claramente tomará la forma de los anillos simétricos dados en el primer ejemplo. A continuación se muestra un ejemplo de este tipo de perturbaciones. ingrese la descripción de la imagen aquí

Podemos ver aquí que el frente de onda es "más plano" a lo largo del eje y.

Entonces, para concluir, mucho tiene que ver con las escalas sobre las que estás haciendo tu observación. Pero se muestra, al menos cualitativamente, que se pueden formar patrones no simétricos para fuerzas axialmente asimétricas.

Puede que haya divagado un poco, ¡pero espero que esto ayude!

Mella

Algunas otras notas:

-Esta es una forma tosca de modelar el oleaje, con una tormenta sobre el océano actuando como una perturbación normal de la presión. De hecho, se pueden hacer estimaciones asintóticas de la longitud de onda en función de la distancia a la perturbación, lo que se ha corroborado para el oleaje. Además, la dispersión de las olas en aguas profundas implica, como saben empíricamente los surfistas, que cuando llega un oleaje, las olas de período más largo aparecen primero.

-Si consideramos una perturbación de presión puntual en una corriente en movimiento uniforme, se obtiene el famoso patrón de estela de barco Kelvin.

Los efectos capilares son muy interesantes en estos problemas. Sin embargo, cómo modelar todos los efectos combinados relacionados con la capilaridad no es trivial. Por ejemplo, no se pueden modelar ondas capilares sin incluir la disipación viscosa (estas ondas tienen un número de onda alto y el amortiguamiento viscoso es como $k^2$ , por lo tanto, es más importante para estas ondas), así como los efectos de la capa límite, ya que las ondas capilares pueden ser una fuerte fuente de vorticidad. Esta vorticidad puede conducir a la curvatura del frente de onda y a otras asimetrías que no son triviales para el modelo. Esta es un área activa de investigación.

Referencias:

Lamb (1932) Hidrodinámica

Whitham (1974) Ondas lineales y no lineales

+1 Una referencia útil para las olas en el agua. En realidad, nunca me había dado cuenta de que la no linealidad de la que habla la gente en las ondas de agua está en las condiciones de contorno. ¿Es esto correcto? Supongo que asumí que venía del término convectivo en las ecuaciones completas de Navier-Stokes. Entonces, si realizó este análisis en un tanque de fondo inclinado de profundidad finita (es decir, numéricamente teniendo en cuenta la no linealidad total de las condiciones de contorno), ¿obtiene olas crecientes a medida que llegan a la "playa" que se comportan de alguna manera como reales?
Puede reescribir el término advectivo en las ecuaciones NS como un término divergente y un término rotacional para que, para el flujo irrotacional, la complejidad de este término, es decir, el componente rotacional, desaparezca. Esta es la razón por la cual el flujo potencial está tan desarrollado y también es aburrido. De hecho, para las ondas de agua irrotacionales, son las condiciones de contorno (que dictan todas las dinámicas en el interior) las que conducen a la complejidad. (Responderé a tu pregunta en mi próximo comentario).
La descripción para aguas poco profundas es análoga, excepto que bc iii) cambia a $\phi_z\to 0$ a $z=-h$ , dónde $h$ es la profundidad del agua. Para ver cómo se comportan las olas cuando se acercan a una playa, uno simplemente consideraría la conservación de la energía. Para simplificar, asumimos que el flujo es independiente del tiempo, por lo que tenemos $\partial (c a^2)\partial x = 0$ lo que significa $c a^2 = const$ , dónde $c$ es la velocidad de la fase de aguas poco profundas $c=\sqrt{gh}$ y $a$ es la amplitud de la onda incidente. Esto significa que $a \sim h^{-\frac{1}{4}}$ para que como $h\to 0$ , $a$ se agranda y en algún momento se "rompe".
Gracias: Me gustan mucho tus tramas. ¿Va a cargar el comando "Manipular" y las definiciones en el Proyecto de demostraciones de Wolfram ? Sugiero que esto sería un buen deseo de mostrar. ¡Otro con un fondo inclinado sería increíble!
@NickP Me tomé la libertad de corregir un error tipográfico en ii') y cambiar $\eta$ a $\phi$ en la ecuación de onda. Esto es consistente con la ecuación (4) en.wikipedia.org/wiki/Airy_wave_theory Pero veo un problema con su solución de la ecuación de Helmholtz: solo obtiene ondas estacionarias. Una onda que se propaga, entrando en la función de Green para la ecuación de Helmholtz, debería ser una función de Hankel, no solo la función de Bessel de primera clase. Además, no puedo estar de acuerdo con su descomposición de una fuente puntual en funciones de Bessel: $f(k)$ debiera ser $k$ , no 1.
Hola, @Slaviks, gracias por dedicar tiempo a responder esta pregunta. Abordaré tus puntos a medida que llegue a ellos. Primero, gracias por la corrección del error tipográfico. A continuación, no entiendo por qué desea escribir la ecuación de onda en términos del potencial de velocidad en lugar de la elevación de la superficie. Son, por supuesto, descripciones equivalentes en la teoría lineal, ya que el mapeo entre los dos es simple, pero creo que la última es más fácil de entender para las personas. A menos que pueda convencerme de que hay algún beneficio en esta forma de pensar, cambiaré esas ediciones de nuevo a lo que eran.
@Slaviks He comprobado que probablemente estoy incorrecto con mi transformación inversa de Hankel de la función delta, lo que probablemente se deba a mi definición incorrecta de la transformación de Hankel. Además, su punto sobre mi restricción a solo la función de Bessel de la solución de primer tipo probablemente también esté justificado. Por ahora, señalo al lector esto: ap.ide.titech.ac.jp/~takada/waves/text2.pdf , pero actualizaré esta solución más tarde esta noche. Ahora, es hora de surfear.
@NickP Mi justificación para no saltar de $\phi$ a $\eta$ demasiado rápido es, en primer lugar, que requiere explicación, y en segundo lugar, que las condiciones iniciales para $\eta$ ( $\eta= \delta(r)$ , $\eta_t= 0$ ) no son idénticos a los de $\phi$ . Esto debe tenerse en cuenta al realizar las transformaciones de Hankel.

je · Answer 3

las ondas siempre viajan con una velocidad constante. Para que las ondas en el agua viajen a una velocidad constante, deben ser circulares. Y por lo tanto, las ondas en el agua son siempre circulares.

Esto tiene el mismo problema que la respuesta de Santosh Linkha. Solo explica las ondas que provienen de una perturbación puntual. Vea mi comentario debajo de su respuesta.

Santosh Linkha · Answer 4

No creo que las ondas de agua sean de naturaleza circular debido a que el tamaño del objeto es pequeño en comparación con las ondas porque incluso puedes crear ondas perfectas con un cuchillo de cocina.

Es de naturaleza circular porque la transmisión de la perturbación desde un evento de origen tiene lugar en forma de onda en un medio bidimensional. Y la intensidad de la onda se distribuye por igual en todas las direcciones del medio.

Como sabe, el movimiento ondulatorio todas las partículas en ondulación ejecutan un movimiento armónico, permanecen en fase, es decir, las partículas a la misma distancia del centro permanecen a la misma altura, creando así un círculo.

Esto solo explica por qué las ondas que provienen de una perturbación de un solo punto son circulares. Pero para un objeto irregular, las ondas provenientes de diferentes puntos interferirán y crearán un patrón que no es circular. Se volverá asintóticamente circular cuando las ondas sean mucho más grandes que la perturbación original.

usuario12029 · Answer 5

(La misma pregunta se publicó en Quora y esta es una copia de mi respuesta allí. La mayoría de las respuestas realmente se reducen a: "Es circular. ¡Solo míralo! ¡Obtienes círculos! Por eso es circular").

Lo expresaría así: la idea principal de la mayoría de las ecuaciones de onda es que las perturbaciones solo se propagarán a la velocidad $c$ . Entonces podemos mirar la perturbación propagada ideal en lugar de preocuparnos por las ondas de agua del mundo real. (esto es lo mejor de todos modos, porque podría aplicarlo a explosiones u ondas electromagnéticas sin pérdida de generalidad)

Entonces, tenemos algo de forma. $S$ , que es un conjunto de puntos en el plano (supongamos que es la forma rellena con su límite). Queremos ver cómo el conjunto $D(t)$ cambia con el tiempo, donde $D(t)$ es el conjunto de puntos que está a una distancia de algún punto de $S$ Menos que o igual a $ct$ . (asi que $D(t)$ se expande hacia el exterior en una "zona de causalidad")

Teorema. $\mbox{Area}(D(t))$ ~ $\pi (c t)^2$ . Eso es:

Teorema. El área de $D(t)$ es asintotico a $\pi (c t)^2$ . Eso es:

Teorema. $\lim_{t\to\infty} \frac{D(t)}{\pi (c t)^2}=1$ . Eso es:

Teorema. La zona es básicamente un círculo. (Está bien, esto no es equivalente a la declaración anterior, pero la prueba a continuación puede mostrarlo).

Prueba. Elige cualquier punto del plano para que sea el centro de tu círculo. Cada vez que digo "el círculo" de ahora en adelante, significa el círculo con ese centro. A $t=0$ , haga un círculo que abarque completamente la forma con la que comienza. Entonces, si el círculo tiene radio $r_0$ , espera hasta el momento $t=\frac{2 r_0}{c}$ . Ahora la "zona de causalidad" contiene el círculo con el que comenzaste. En cualquier momento $t$ , entonces, el borde de la zona de causalidad quedará intercalado entre el círculo de radio $ct+r_0$ y el circulo de radio $ct-r_0$ (que tiene radio $r_0$ en el momento en cuestión). Después $\pi (ct+r_0)^2\ge \mbox{Area}(D(t)) \ge \pi (ct-r_0)^2$ para todos $t> \frac{2 r_0}{c}$ . Asi que $(1+\frac{r_0}{ct})^2\ge \frac{ \mbox{Area}(D(t))}{\pi (ct)^2} \ge (1-\frac{r_0}{ct})^2$ . Como $t\to\infty$ la izquierda y la derecha van a uno, por lo que el medio también debe hacerlo. $\square$

Las declaraciones de la forma "esto contiene eso" se pueden hacer completamente rigurosas usando desigualdades como la desigualdad del triángulo. Esto no dice nada sobre el borde de la zona de causalidad.

gabriel rosón porto · Answer 6

Ecuación

η (r, θ, t) \sim \frac{\sqrt{gramo} t}{r^{5 / 2}} (porque gramo t^{2} / 4 r - pecado gramo t^{2} / 4 r)

$η(r,θ,t)∼\frac{\sqrt g t}{r^{5/2}}(\cos gt^2/4r−\sin gt^2/4r)$ no es físicamente consistente

quizás

η (r, θ, t) \sim \frac{\sqrt{gramo} t}{r^{1 / 2}} (porque gramo t^{2} / 4 r - pecado gramo t^{2} / 4 r) ?

$η(r,θ,t)∼\frac{\sqrt g t}{r^{1/2}}(\cos gt^2/4r−\sin gt^2/4r) ?$

puede ser η(r,θ,t)∼√gt/r^-1/2(cosgt2/4r−singt2/4r) ?
Tenemos MathJax aquí, lo he editado para usted, pero intente tener esto en cuenta en el futuro.
Aunque esto parece ser más un comentario en esta publicación que una respuesta.

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