¿Cómo modelar la forma de una onda de agua superficial?

Las ondas de aguas profundas a menudo se describen como "cnoidales", con una descripción matemática que involucra la función elíptica jacobiana cn(). Esta es una solución exacta a la ecuación diferencial no lineal de Korteweg-de Vries. Una ecuación más precisa es la de Boussinesq. Estos son la base para describir todas las ondas de agua, ya sea que las agite el viento o no. Los parámetros básicos para una solución particular son la altura de la ola, el período (o longitud de onda), la profundidad del agua y la aceleración de la gravedad.

Odio citar Wikipedia debido a su propensión a cambiar, pero las mejores explicaciones que pude encontrar, incluidas las matemáticas, están ahí.

En cuanto a los detalles del viento empujando los picos de las olas, y los picos que perturban el flujo de aire, y las grandes olas rompiendo de manera que excitan a los surfistas, no conozco formas matemáticas agradables, pero no soy un experto en esto. . El modelado numérico es el rey en el área. Se realizó una investigación original para la película "La tormenta perfecta" sobre cómo hacer mejores simulaciones y procesar los números más rápido.

• Olas de agua
• Modelo de onda de viento
• Onda cnoidal
• Ecuación de Boussinesq

La generación de olas por el viento sigue siendo una cuestión abierta. Jeffrey (1925) hizo una predicción basada en la sombra de las olas, es decir, propuso que el viento sobre las olas provocaría una mayor presión sobre los valles y una menor presión sobre las crestas, lo que provocaría el crecimiento de las olas. Resulta que las tasas de crecimiento teóricas de las olas, basadas en este mecanismo, son demasiado pequeñas para explicar el crecimiento de las olas observado en el océano. Phillips (1956) predijo que las fluctuaciones aleatorias de la presión en la superficie podrían conducir a la generación de ondas, pero nuevamente, sus predicciones fueron demasiado pequeñas para explicar el crecimiento observado. Fue Miles (1957) quien propuso que el flujo sobre el agua es análogo a la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz, y este mecanismo podría conducir al crecimiento de las olas en el océano. Las tasas de crecimiento estaban mucho más cerca de lo observado.

Esta no es toda la historia. En la teoría de Miles, el perfil del viento sobre las olas era logarítmico y$laminar$cuando uno se acercaba a la superficie del agua. En realidad, se ha demostrado en el laboratorio que la separación del flujo ocurre sobre olas fuertes y rompientes. Esto atenúa efectivamente los efectos del viento sobre las olas. Ahora se piensa que la capilaridad juega un papel importante en este proceso, pero los detalles aún están abiertos.

A continuación, consideramos la forma de las ondas de gravedad superficiales en aguas profundas, que es el escenario relevante en el contexto de la generación de olas. Este es un tema amplio, por lo que solo esbozaré algunos de los conceptos básicos.

Comenzamos suponiendo que el flujo es irrotacional, lo que significa que existe un potencial de velocidad$\phi$, dónde$\nabla \phi = \textbf{u}$, con$\textbf{u}$la velocidad del fluido, tal que$\nabla^2\phi =0$por todas partes en el agua. Las condiciones en la superficie libre.$z=\eta$son

$$\begin{equation} i)\ \ \eta_t+\nabla \phi \cdot \nabla \eta= \phi_z, \end{equation}$$ es decir, la condición de frontera cinemática, y $$\begin{equation} ii)\ \ \phi_t+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 +gz = 0, \end{equation}$$

que es la condición de frontera dinámica, asegurando la continuidad de la presión a través de la interfase.

Finalmente, tenemos la condición de que no hay flujo en el fondo, es decir

$$\begin{equation} iii)\ \ \phi_z \to 0 \quad \text{as} \quad z\to -\infty \end{equation}$$ Ahora, aunque la ecuación gobernante es lineal (es la ecuación de Laplace), las condiciones de contorno no son lineales y se evalúan en una de las variables que estamos resolviendo, a saber $\eta$.

Las ondas a las que creo que te refieres, con picos 'más picos' y valles más planos, son ondas de Stokes (Stokes 1847). Son soluciones a las ecuaciones anteriores cuando restringimos las soluciones a ondas progresivas permanentes. Sin pulir los detalles, a segundo orden en la inclinación de la ola, medida por$ak$para amplitud de onda$a$y número de onda$k$, el desplazamiento de la superficie se convierte en

$\eta(x,t) = a\cos (kx-\omega t) +\frac{1}{2} a^2 k\ \cos 2(kx -\omega t)$dónde

$\omega = \sqrt{gk}(1+1/2(ak)^2)$, es la relación de dispersión, y notamos que hay una corrección de Stokes, proporcional a$(ak)^2$. Estas se conocen como ondas de amplitud finita, ya que las soluciones lineales son válidas solo para amplitudes infinitesimales.

Ahora, la teoría de Stokes reinó supremamente hasta la década de 1960, cuando la gente comenzó a ver señales de que estas ondas no eran la historia completa. La gente había estado tratando de generar trenes de ondas monocromáticas en el laboratorio, pero descubrieron que lejos de la paleta, la forma de onda no tenía la forma progresiva permanente predicha por la teoría de Stokes. Lighthill (1965) demostró que las ecuaciones que rigen la amplitud de las olas en aguas profundas, válidas para segundo orden, eran una ecuación elíptica y, por lo tanto, potencialmente inestables a las perturbaciones. Esto fue riguroso por Benjamin y Feir en (1967), quienes demostraron que las ondas de Stokes de segundo orden eran inestables a las perturbaciones subarmónicas. Al mismo tiempo, Zakharov (1967) mostró este resultado en el contexto de una formulación hamiltoniana.

El crecimiento de esta inestabilidad se describe mediante la ecuación de Schrödinger no lineal, que captura la resonancia de cuatro ondas que opera en ondas de gravedad de superficie de banda estrecha débilmente no lineales.

Pero esta tampoco es la historia completa, ya que el crecimiento de la inestabilidad de Benjamin-Feir puede conducir eventualmente a la ruptura, lo que claramente no se describe en la teoría del flujo potencial. Así que en realidad no tenemos ecuaciones que sean válidas durante mucho tiempo cuando las condiciones iniciales son lo suficientemente pronunciadas como para estar sujetas a estas inestabilidades.

Esto es claramente solo una muestra (divergente) de un tema muy rico. Siéntase libre de preguntar cualquier detalle que pueda encontrar interesante.