Números de Stirling de segunda clase

Martin ya ha explicado la notación, pero también puede encontrar útil la siguiente conexión con los números de Stirling del segundo tipo, ya que esos son los que se mencionan en su título.

Si calculas el$c(n,k)$para$n=0,1,2,3,4,5$, obtienes la siguiente matriz de$0$-ésimas diagonales:

   n\k:  0   1   2   3   4   5  
   ---------------------------  
   0 |   1  
   1 |   0   1  
   2 |   0   1   2  
   3 |   0   1   6   6  
   4 |   0   1  14  36  24  
   5 |   0   1  30 150 240 120

Este triángulo se puede encontrar como A131689 en OEIS , donde puede descubrir que la entrada en la fila$n$, columna$k$es

   n\k:  0   1   2   3   4   5  
   ---------------------------  
   0 |   1  
   1 |   0   1  
   2 |   0   1   1  
   3 |   0   1   3   1  
   4 |   0   1   7   6   1  
   5 |   0   1  15  25  10   1

Esto es fácilmente reconocible como la tabla de números de Stirling del segundo tipo .

Creo que sería por mencionar el nombre del libro. Según esta búsqueda en Google, parece ser Brualdi: Combinatoria introductoria.

Por lo que entendí cuando miré en mi copia de los libros.$c(p,k)$es simplemente la notación para el$p$-ésimo término de$0$-ésima diagonal de tabla obtenida de$h_n=n^p$. (En la 5ª edición, que tengo, se refiere al Teorema 8.2.2, donde los elementos de la 0-ésima diagonal se denotan$c_0,c_1,\dots,c_p,0,0,\dots$, es decir, el$k$-ésimo término de$0$-ésima diagonal es$c_k$. Aquí el autor simplemente agregó un índice más para indicar el poder de la secuencia original$h_n=n^p$.)

Así que no deberías buscar nada complicado, no es más que la notación para elementos de cero-ésima diagonal. en tu ejemplo$c(4,0)=0$,$c(4,1)=1$,$c(4,2)=14$,$c(4,3)=36$,$c(4,4)=24$.

Esto produce los valores correctos para los números de Stirling del primer tipo. $S(4,0)=0$,$S(4,1)=1$,$S(4,2)=7$,$c(4,3)=6$,$c(4,4)=1$.

Es solo una forma de introducir la notación c(i,j) para los elementos de la tabla.