Número de coaliciones de estado ganadoras en el colegio electoral

Defina una coalición como un subconjunto del conjunto de los 51 estados (contando a DC como un estado) que forman los EE. UU. Defina una coalición como ganadora si el número total de votos electorales del estado en esa coalición es de 270 o más (ignoremos al principio que dos estados pequeños complican las cosas al permitir un grupo electoral mixto). Hay 2^51 coaliciones en total y cada estado pertenece a 2^50 (alrededor de 1000 billones) de ellas. Para cada estado podemos definir su poder como el número de coaliciones ganadoras a las que pertenece.

¿Se ha calculado la potencia de cada estado?

Estoy bastante seguro de que se ha calculado, son solo alrededor de 2000 billones de adiciones de menos de 50 términos, pero ¿dónde puedo encontrar esto? También estoy bastante seguro de que lo que llamo poder aquí tiene un nombre más específico, pero no lo sé, lo que probablemente me impide encontrar lo que estoy buscando usando google.

¡No serían 50! coaliciones totales? ¿O mi combinatoria está demasiado oxidada?
@DavidGrinberg Un estado/distrito puede estar en una coalición o no. Hay 51 de ellos. Eso da 2^51 divisiones de coalición: una para cada número binario con 50 dígitos. ¡Hay 51! órdenes de los estados. 51 porque incluimos el Distrito de Columbia. Esto es realmente incorrecto, porque Maine y Nebraska votan por distrito. Así que en realidad es 2^56. Pero si asumimos que todos los distritos electorales en ME y NE votan como lo hace su estado, 2^51.
Cinco Treinta y Ocho, probablemente.
Esta sería una gran pregunta para las matemáticas. SE ya que su conexión con la política es mínima. Sin embargo, podría ser NP difícil de resolver. Básicamente, está viendo combinaciones de votos electorales que excluyen un estado dado que suman (270 votos electorales del estado) o más.
@barrycarter no es NP-difícil, es mucho.
Además, dado que todos los estados que no están en la coalición son parte de la otra coalición, hemos contado todas las coaliciones al doble y podemos dividir el número de 2^51 coaliciones entre 2 para producir 2^50 posibles coaliciones.
Por supuesto, si uno o más estados votan por un tercero, aumentan las diferentes posibilidades.
@SQB Quise decir que es NP difícil si resolvemos el problema general: una secuencia de n números y un número M que algunos subconjuntos de números cumplirán o superarán. Sin embargo, creo que pude haber encontrado un enfoque recursivo que solo toma tiempo lineal... tal vez.
@ohwilleke no, si observamos todas las combinaciones posibles de estados, algunas combinaciones tendrán la mayoría de votos y otras no. Teniendo en cuenta cualquier combinación dada, no importaría si todos los demás estados optaron por el mismo candidato o si optaron por varios otros candidatos, porque la combinación en consideración aún tendría o no tendría una mayoría de votos.
Estoy trabajando en ello aquí: github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/STACK/bc-coalition.m si alguien está interesado. No es tan difícil como parece. Multiplica (1+x)^ipolinomios de estilo para una solución más fácil.

Respuestas (3)

Sin realizar el cálculo real, es fácil ver que cuantos más votos electorales tenga un estado, más poder (según su definición) tendrá.

Supongamos un país más pequeño, con 4 estados, convenientemente llamados A, B, C y D, que tienen 1, 2, 3 y 4 votos en el colegio electoral de ese país respectivamente. Esos votos suman 10, por lo que una coalición necesita al menos 6 votos para ser una coalición ganadora.

Hay 8 divisiones posibles, produciendo dos coaliciones cada una:

  1. A + B + C + D contra nadie
  2. A + B + C frente a D
  3. A + B + D frente a C
  4. A + C + D contra B
  5. B + C + D contra A
  6. A + B frente a C + D
  7. A + C frente a B + D
  8. A + D frente a B + C

Para el estado D, con sus 4 votos en el colegio electoral, hay dos formas de decidir las coaliciones que no lo verán ganar:

  1. Estado D solo (opción 2 anterior)
  2. Estados A y D juntos (un empate; opción 8 anterior).

Todas las otras 6 formas de dividir los estados harán que la coalición en la que está D gane.

El estado A, por otro lado, con su voto único, tiene solo 4 formas de ganar (opciones 1, 2, 3 y 4 anteriores).

Para el estado B hay 5 formas de ganar (1, 2, 3, 5, 7) y para el estado C también hay 5 (1, 2, 4, 5 y 6).

El sitio 270 to Win tiene un mapa interactivo que puede examinar para experimentar con esto por sí mismo.

Tenga en cuenta que "más votos electorales = más poder" no es absoluto. Es posible construir asignaciones de votos electorales que otorguen a los estados más pequeños más poder de lo que parecen indicar sus conteos de votos. (Fuente: "Mathematical Recreations" en una edición anterior de Scientific American ; establecer un arreglo de este tipo es más difícil con 51 estados que con los números pequeños utilizados en el artículo).
@Mark: Aunque al contrario, una asignación de votos electorales que otorga a los estados más pequeños menos poder de lo que parecería indicar su conteo de votos, es trivial. Que el 61,6% de la población nacional se traslade a un estado, de manera que obtenga 268 de los 435 escaños de la Cámara (y por lo tanto, 270 de los 538 votos electorales). Entonces ese superestado tendría el control total de las elecciones presidenciales.

Todavía tenía una copia de un programa de computadora que escribí en la universidad para calcular el índice de poder de Banzhaf del Colegio Electoral. Ejecutarlo en el prorrateo del censo de 2010 (utilizado para las elecciones presidenciales de 2012, 2016 y 2020) da los siguientes valores de "poder" en función de los votos electorales:

 3: 0.022622 WY DC VT ND AK SD DE MT
 4: 0.030169 RI NH ME HI ID
 5: 0.037720 NE WV NM
 6: 0.045277 NV UT KS AR MS IA
 7: 0.052842 CT OK OR
 8: 0.060416 KY LA
 9: 0.067999 SC AL CO
10: 0.075594 MN WI MD MO
11: 0.083202 TN AZ IN MA
12: 0.090823 WA
13: 0.098460 VA
14: 0.106113 NJ
15: 0.113784 NC
16: 0.121475 GA MI
18: 0.136921 OH
20: 0.152464 PA IL
29: 0.223975 FL NY
38: 0.298862 TX
55: 0.471147 CA
Buena respuesta, aunque es posible que desee explicar un poco el índice de poder de Banzhaf.
Buena respuesta, gracias. Creo que he visto su artículo en algún lugar de la web. Sin embargo, hay una sutileza en la forma en que se define el índice de poder de Banzhaf. Si creo en el documento que he visto, existe el índice de poder de Banzhaf de un estado, definido contando para un estado dado el número de coaliciones ganadoras de las que forma parte, y cuáles se convertirían en perdedoras si el estado cambiara de bando . Esta es una variante (probablemente mejor) de lo que pregunté. Pero luego, está el índice de poder de Banzhaf de un votante típico en un estado, que es diferente, y es lo que se informa en su publicación si no me equivoco...
Se estima (no se calcula con precisión) como el índice de poder del estado dividido por la *raíz cuadrada de su población, por la razón que aún no me he tomado el tiempo de entender, esta semana estoy bastante ocupado. Pero, ¿tengo razón en la interpretación de sus cifras?
@Joël: Mis cifras consideran los estados, no la población dentro de ellos. En cuanto a la raíz cuadrada, la razón es que, si los votantes se consideran variables de Bernoulli aleatorias e independientes, la probabilidad de un empate exacto (que puede romperse con un solo votante) es O(1/√n), donde n es población.

Permítanme comenzar diciendo que todavía estoy trabajando para resolver el problema de las elecciones más recientes, pero creo que estoy progresando y quería compartir el progreso mientras el verdadero problema es la informática. Hay muchos conjuntos de coaliciones posibles. Pero hay varias formas de reducir estratégicamente la cantidad de conjuntos en el espacio de la solución. El primer corte que podemos hacer es definir el número mínimo de estados requeridos para obtener una mayoría en el colegio electoral. Para 2012, el número mínimo de estados para llegar a 270 es 12.

California - 55
Texas - 38
Florida, New York - 29
Illinois, Pennsylvania - 20
Ohio,  18
Georgia, Michigan - 16
North Carolina - 15
New Jersey - 14
Virginia - 13

Esto reduce el número de combinaciones posibles de 2251799813685247a 2251735594475336. No es una gran reducción, pero estoy trabajando en algunos métodos para hacer más recortes.

Pensé que sería interesante analizar un problema más manejable, la primera elección presidencial en 1788. En 1788 hubo 69 votos electorales totales de 10 estados.

Connecticut - 7
Delaware - 3
Georgia - 5
Maryland - 6
Massachusetts - 10
New Hampshire - 5
New Jersey - 6
Pennsylvania - 10
South Carolina - 7
Virginia - 10

En este caso, una coalición necesitaba una mayoría de los 69 votos totales, 35 votos, para estar del lado ganador. Esto se traduce en un tamaño mínimo de coalición de cuatro estados. Hay 848coaliciones totales que contienen al menos cuatro estados. Ahora probando cada coalición posible

{Connecticut, Delaware, Georgia, Maryland}
{Connecticut, Delaware, Georgia, Massachusetts}
{Connecticut, Delaware, Georgia, New Hampshire}
...
...
{Connecticut, Delaware, Georgia, Maryland, Massachusetts, New Hampshire, New Jersey, Pennsylvania, South Carolina, Virginia}

es posible determinar la probabilidad de que un estado en particular sea parte de la coalición que elige al presidente. Durante la primera elección, las probabilidades son:

Connecticut - 0.353774    
Delaware - 0.316038
Georgia - 0.334906
Maryland - 0.346698
Massachusetts - 0.39033
New Hampshire - 0.334906
New Jersey - 0.346698
Pennsylvania - 0.39033
South Carolina - 0.353774
Virginia - 0.39033

Me aseguraré de actualizar si puedo hacer algún progreso en el ciclo electoral actual.

En realidad, no es una simple cuestión de combinaciones matemáticas. Según la demografía, tiene estados que son sólidamente de un partido o del otro, estados que normalmente son de un partido o del otro pero que pueden votar de manera diferente en circunstancias inusuales o extremas, y estados indecisos. La gran mayoría de combinaciones son ruido teórico.
@ fixer1234 Depende de la pregunta que tenga realmente en mente. Si la pregunta es "¿el colegio electoral beneficia a un estado u otro a largo plazo?", entonces no es realmente relevante que en este momento, algunos estados seguramente están en la columna de un partido y solo unos pocos son estados indecisos. Más de cien años, estoy seguro de que no hay muchos estados, si es que hay alguno, que nunca hayan cambiado su voto (democrático o republicano) en las elecciones presidenciales.
@Marchi Gracias, gran respuesta. Es realmente sorprendente como Delaware con solo 3 votos electorales, tiene casi el mismo poder que Virginia que tiene 10. ¿Estás seguro de tus cifras?
@fixer1234 De hecho, ningún estado ha votado constantemente por un partido desde 1964, como comprobé (fácilmente). En el no tan largo plazo, todos los estados son estados indecisos. Sin embargo, tiene razón en que existe correlación entre estados, estados que tienden a votar juntos. El viejo sur es uno de esos bloques que saltan a la vista al mirar los mapas electorales, pero no parece haber muchos más.
@Joël, interesante. Supongo que si retrocedes lo suficiente, todos los estados han tenido cambios (aunque sin mirar las estadísticas, me resulta difícil imaginar que ciertos estados, como California, hayan cambiado en al menos generaciones). Estaba analizando la pregunta desde la perspectiva de que el análisis sea principalmente útil en un momento dado (p. ej., analizar/planificar las próximas elecciones). A corto plazo, hay estados que son prácticamente sólidos como una roca.
@fixer1234. Sí. En cuanto a California, desde 1952 ha votado 9 veces por los republicanos y 8 veces por los demócratas. A mí también me sorprendió la primera vez que vi esto.
@Joël: Estoy bastante seguro del número, pero definitivamente no al 100%.
@fixer1234: Tiene toda la razón al afirmar que en las elecciones reales los estados no tienen probabilidades discretas de votar por un candidato/partido sobre otro. En la práctica, cada estado tiene una distribución de probabilidades asociada a la selección electoral. Para luego encontrar las probabilidades de que un candidato en particular gane, y si cierto estado participó en la coalición ganadora, es un modelo estadístico mucho más complicado. Lo más probable es que tengas que hacer un arranque para obtener la respuesta.
@fixer1234: La última vez que California votó por un republicano en una elección presidencial fue en 1988.
Número de coaliciones de estado ganadoras en el colegio electoral
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v