Nodos de ondas estacionarias de presión al final del lado abierto de un tubo

Del artículo de Wikipedia sobre el sonido :

En física, el sonido es una vibración que se propaga como una onda mecánica típicamente audible de presión y desplazamiento .

Para comprender completamente cómo vibra el aire en una tubería abierta, debe considerar no solo la onda de presión acústica,

(aquí$c$es la velocidad del sonido) sino también la variación en el flujo de aire, es decir, una onda de desplazamiento de partículas :

Consideramos que el aire en el tubo tiene una posición de reposo y el movimiento ondulatorio se expresa en términos de desplazamiento desde esa posición. Si denotamos por$ξ(x,t)$el desplazamiento del aire en la posición x en el tiempo t, entonces la ecuación de onda para el desplazamiento es (agregué una derivación al final de esta respuesta):

Como citó, la presión en el extremo abierto debe ser igual a la presión del aire ambiente fuera de la tubería: esta es solo una condición límite (volveré a esto más adelante, pero una forma simple de entenderlo es: si no satisfizo la continuidad de la presión, tendríamos un gradiente de presión infinito y, por lo tanto, una fuerza infinita). Sin embargo, para un extremo abierto, el aire puede entrar y salir libremente: es decir, la onda de desplazamiento sale y se propaga. Este diagrama muestra lo que sucede en una tubería abierta (izquierda) frente a una cerrada (derecha) de la misma longitud:

La línea roja es la amplitud de la variación de la presión, mientras que la línea azul es la amplitud de la variación del flujo de aire. Como puede ver, la amplitud de la onda de desplazamiento es máxima en el extremo abierto.

Ahora, para responder a sus preguntas, "¿por qué la presión en el extremo abierto no puede variar de la presión atmosférica?" y "¿cómo se produce el reflejo de la onda en el extremo abierto?", citaré un pasaje de esta maravillosa explicación que encontré (debería echar un vistazo a las animaciones si esto no es lo suficientemente claro, o alternativamente a este video ): Enviemos un pulso de aire por un tubo cilíndrico abierto al final. Después...

Llega al final del tubo y su impulso lo lleva al aire libre, donde se esparce en todas direcciones. Ahora, debido a que se extiende en todas las direcciones, su presión cae muy rápidamente a casi la presión atmosférica (el aire exterior está a presión atmosférica). Sin embargo, todavía tiene el impulso para alejarse del final de la tubería. En consecuencia, crea una pequeña succión: el aire que sigue detrás de él en el tubo es succionado (un poco como el aire que es succionado detrás de un camión a toda velocidad).

Ahora, una succión al final del tubo extrae aire de más arriba del tubo, y eso a su vez extrae aire de más arriba del tubo y así sucesivamente. Entonces, el resultado es que un pulso de aire a alta presión que baja por el tubo se refleja como un pulso de aire a baja presión que sube por el tubo. Decimos que la onda de presión se ha reflejado en el extremo abierto, con un cambio de fase de 180°.

Para un tratamiento más formal de los reflejos en un extremo abierto, vea esto . Déjame saber si puedo ser más claro en algún punto.

Addendum : Una derivación de las dos ecuaciones de onda.

La presión acústica es la desviación de la presión local del ambiente, es decir:

dónde$p_a$es la presión del aire ambiente, y$P(x,t)$es la presión absoluta. En esta situación, la ley de Hooke establece que

donde la constante$B$es el módulo volumétrico del aire (es decir, la resistencia del aire a la compresión uniforme). La segunda ley del movimiento de Newton implica que

Combinando estas ecuaciones, obtenemos

y

dónde$c = \sqrt{B/{\rho}}$(de la ecuación de Newton-Laplace),$\rho$siendo la densidad del aire. Fuente de esta derivación: Música de Dave Benson : una oferta matemática .

Adición posterior :

Como señaló @knzhou en su respuesta, se debe mencionar que para un final abierto,$p = 0$en realidad es solo una aproximación, porque el volumen de aire justo fuera del tubo no es infinito. Sin embargo, puede hacer una representación más precisa del tubo real trabajando en términos de una longitud efectiva , que es un poco más larga que el extremo geométrico. Este diagrama muestra la longitud efectiva para el modo de vibración fundamental de una flauta:

La corrección final es la cantidad en la que la longitud efectiva excede la longitud real y, en condiciones normales, suele estar alrededor de las tres quintas partes del ancho del tubo.

Además, uno podría preguntarse qué sucede realmente en el límite entre el tubo y el aire libre. Todo lo que sé es que si dentro del tubo hay una onda plana, y cuando la onda de desplazamiento sale y se propaga externamente, se convierte en una esférica, entonces debe haber algún efecto complicado entre las dos (como sugirió @docscience en los comentarios). Quizá alguien más informado nos lo pueda explicar.

Te estarás preguntando por qué se forman nodos de presión en un extremo abierto de un tubo. La respuesta es, ¡no lo hacen! Es sólo una aproximación razonablemente buena.

Físicamente, considere las moléculas de aire en el centro del tubo. Dado que están lejos de los bordes, no hay forma de que "sepan" exactamente cuándo termina el tubo, por lo que la onda de sonido debe "filtrarse" ligeramente. La distancia de esta fuga es del orden del radio del tubo; pasado entonces, la presión es aproximadamente la presión atmosférica.

En realidad, resolver el problema requiere resolver la ecuación de onda 3D completa con condiciones de contorno complicadas. Las pocas veces que esto se puede hacer explícitamente, el resultado es un lío de funciones especiales. Sin embargo, en una buena aproximación, se puede reemplazar la solución 3D completa con una solución 1D con su nodo ligeramente desplazado fuera del tubo. Esto se denomina ' corrección final ' y es importante para la construcción de instrumentos musicales.

Como indica su animación, el desplazamiento máximo ocurre en el extremo abierto. Eso está en desacuerdo con su afirmación de que el extremo abierto es un nodo. Creo que el extremo abierto es un antinodo, de manera similar, los extremos de un tubo abierto-abierto son antinodos.