¿Múltiples canales de información en una sola onda electromagnética?

Di si transmito:$\sin(2\pi x)$

Y por separado:$\sin(2\pi x\times 2)$

¿Termina como una sola ola de:$\sin(2\pi x)+\sin(2\pi x\times 2)$?

Sí, así es exactamente como funciona. Esto se llama superposición . Hay ondas electromagnéticas en cientos de frecuencias diferentes, todas llenando el aire simultáneamente.

La forma en que algo como una radio puede seleccionar la estación que quiere es mediante el uso de un circuito resonante (también conocido como filtro de paso de banda ), que amortigua todas las frecuencias de las ondas EM, excepto dentro de un rango pequeño.

Es posible dividir esta señal combinada en los componentes originales nuevamente. Puedes hacerlo porque las funciones seno y coseno forman una base de un espacio de Hilbert , un espacio llamado$L^2(\mathbb{R})$.

Ahora, que significa esto? La palabra "espacio" quizás sea confusa, un espacio matemático es esencialmente solo un conjunto de objetos matemáticos, en este caso el espacio contiene todas las señales posibles combinadas (cada señal es un "punto" en el espacio).

En un espacio de Hilbert, es posible calcular el producto escalar de dos elementos: sea$\varphi,\psi$ser dos posibles señales, (por ejemplo podría ser$\varphi(x)=\sin(x)$,$\psi(x)=\cos(2x)$) ^† , entonces tenemos

$$\langle \varphi| \psi\rangle_{\!\!\!\!_{L^2(\mathbb{R})}} = \int_\mathbb{R}\!\mathrm{d}x\ \varphi(x)\cdot\psi(x)$$ Esto produce un solo número. En caso de que no entiendas lo que significa esta expresión, no te preocupes. Puede pensar en el producto escalar como una medida de "cuánto la señal $\varphi$está 'en' la señal $\psi$", en un sentido.

Supongamos que ahora ha dado una señal

$$\varphi(x) = a\cdot \sin(x) + b\cdot \sin(2x)$$ dónde $a$y $b$son prefactores desconocidos. Son estos prefactores los que transmiten la información real en una señal de radio, por lo que desea conocerlos. Y ahí es donde podemos usar nuestro producto escalar: calculamos $$\langle \sin(x) | \varphi\rangle$$ y $$\langle \sin(2x) | \varphi\rangle.$$ En realidad, nos encontramos con un pequeño problema aquí: las funciones de seno oscilan literalmente para siempre, infinito . Eso hace que el resultado del producto escalar también sea infinito. Pero en realidad, no tenemos señales infinitas, en realidad están limitadas a una duración de tiempo finito. Supongamos que las señales comienzan en $x=0$y terminar en el momento $x=4\pi$, (antes y después, ambos son cero todo el tiempo). Entonces nosotros tenemos $$\begin{align} \langle \sin(x) | \varphi\rangle &= \int\limits_0^{4\pi}\!\mathrm{d}x\ \sin(x)\cdot\psi(x) \\ &= \int\limits_0^{4\pi}\!\mathrm{d}x\ \sin(x)\cdot\sin(x) + \int\limits_0^{4\pi}\!\mathrm{d}x\ \sin(x)\cdot\sin(2x) \end{align}$$ Las integrales se pueden calcular con la ayuda de algunas ecuaciones trigonométricas conocidas. Resulta que el resultado es $\langle \sin(x) | \varphi\rangle = 2\pi\cdot a$, mientras $\langle \sin(2x) | \varphi\rangle = 2\pi\cdot b$. ¡Calculamos el prefactor de cada una de las funciones seno!

^† Llamé a la variable "tiempo"$x$aquí, como lo hiciste tú. En física, normalmente lo llamaríamos$t$para señales de radio.