Multiestabilidad en la red de ultización de lactosa

Al leer el documento aquí , estoy confundido acerca de la producción de la figura 4d. El método de producción se detalla en la información complementaria bajo el título "Diagrama de fase teórico".

Específicamente, estoy confundido sobre el uso de theta y lo que significa. He intentado reproducir la figura usando MATLAB y los parámetros en el documento para ver si puedo entenderlo mejor, pero nada funciona.

Para ser claros, el documento obtiene un resultado de estado estacionario para una serie de ODE:

y = α ( 1 + ( β y ) 2 ) ρ + ( β y ) 2
Luego se reorganiza como un cúbico:
y 3 − α y 2 + ρ β 2 y − α β 2 = 0
Aparentemente, una cúbica general con dos raíces idénticas tiene la forma:
( y − a ) ( y − a ) ( y − a θ ) = y 3 − ( 2 + θ ) a y 2 + ( 1 + 2 θ ) a 2 y − θ a 3
Luego, el documento iguala los coeficientes:
ρ = ( 1 + 2 θ ) ( 1 + 2 / θ ) (¿querías decir?) a β = ( 2 + θ ) 3 / 2 θ 1 / 2
Y afirma que estas son las ecuaciones paramétricas que describen el gráfico en cuestión. Al trazar estas ecuaciones, no obtengo nada como el gráfico. Realmente no puedo ver de dónde viene.

El gráfico en cuestión y algunas ecuaciones se reproducen aquí en la última página: http://web.mit.edu/biophysics/sbio/PDFs/L7_notes.pdf

No tengo acceso a la naturaleza, así que no tengo idea de cómo se ve la figura. Tienes que publicar la figura.

Respuestas (1)

La ecuación en el OP se ha actualizado a ( y − a ) 2 ( y − a θ ) que produce la expansión correcta. Por lo tanto, al igualar los coeficientes, obtenemos

(1) α = ( 2 + θ ) a (2) ρ / β 2 = a 2 ( 1 + 2 θ ) (3) α / β 2 = a 3 θ
Usando las ecuaciones (1) a (3), obtenemos el deseado ρ y α β . Ahora los autores trazaron α β ρ y 1 ρ .

Al trazar α β ρ y 1 ρ , podemos volver a crear la trama en Mathematica con

ParametricPlot[{1/((1 + 2 x) (1 + 2/x)), (2 + x)^(3/2)/(
  Sqrt[x] (1 + 2 x) (1 + 2/x))}, {x, 0.01, 50 \[Pi]}, 
 PlotRange -> {{0, .15}, {0, 0.6}}, AspectRatio -> 3/4]

ingrese la descripción de la imagen aquí

Si no tiene Mathematica, aquí hay un código de Python que también lo trazará.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
t = np.linspace(0.01, 25*np.pi, 5000)
x = 1/((1+2*t)*(1+2/t))
y = (2+t)**1.5/(np.sqrt(t)*(1+2*t)*(1+2/t))
plt.plot(x,y)

plt.show()

Aquí está la gráfica de Python que tiene líneas más suaves en comparación con la gráfica de Mathematica.

ingrese la descripción de la imagen aquí

¡Gracias! Pensé que algo estaba pasando... Suponiendo que sus matemáticas hubieran sido correctas y las ecuaciones para rho y alfa-beta fueran correctas, ¿cómo harías para usarlas? Estoy un poco confundido acerca de la theta?
La trama en la última página de web.mit.edu/biophysics/sbio/PDFs/L7_notes.pdf
Disculpe, ¿podría agregar un enlace al gráfico alfa de wolframio?
@user2290362 Lo tracé en Python ya que Wolfram solo lo trazará si tiene la versión completa de Mathematica.
Multiestabilidad en la red de ultización de lactosa
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