Modelo de doble semión en una celosía cuadrada

Consideramos el modelo de doble semión propuesto en el artículo de Levin y Wen

http://arxiv.org/abs/cond-mat/0404617

http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.71.045110

En su artículo, el modelo de doble semión se define en una red de panal.

Ahora estoy tratando de estudiar el mismo modelo en una red cuadrada.

Pregunta 1: ¿Es correcto el siguiente hamiltoniano?

H = − ∑ vértice ∏ k ∈ vértice σ k z + ∑ plaqueta [ ∏ j ∈ piernas i ( 1 − σ j z ) / 2 ] ∏ k ∈ plaqueta σ k X .
En la figura hay 8 patas verdes en total alrededor de cada plaqueta.

Como se muestra en el artículo de Levin y Wen, el estado fundamental del modelo de doble semión es la superposición de igual peso de todos los bucles cerrados, y cada bucle contribuye con un signo menos. Dada una configuración de bucle, el componente de la función de onda viene dado por ( − 1 ) número de bucles . Si tenemos un número par (impar) de bucles, el componente de la función de onda de esta configuración es + 1 ( − 1 ). En el enrejado de panal todo se ve bien. Pero me confunde el estado de la red cuadrada cuando las cuerdas se cruzan.

Pregunta 2: Para las siguientes dos configuraciones, ¿debemos considerarlas como un bucle o dos bucles? ¿Tienen la misma amplitud en la función de onda del estado fundamental?

Aquí consideramos un 3 × 3 toroide, es decir, tenemos condiciones de frontera periódicas en ambas direcciones. La línea roja denota la cuerda, es decir, el giro es | ↓ ⟩ en cada enlace rojo.

Esta es la configuración I.

Esta es la configuración II.

Lo primero que debe verificar es asegurarse de que todos los términos en su hamiltoniano viajen entre sí. Luego, para verificar si la función de onda del estado fundamental es un semión doble, consideremos uno de los términos de plaqueta que actúa en un estado sin cuerdas (es decir, σ z = − 1 en todos lados). El término crea una cuerda cerrada a lo largo de la plaqueta, pero el factor de fase ∏ j ∈ piernas i ( 1 − σ j z ) / 2 = i 8 = 1 (mientras que en un enrejado de panal es i 6 = − 1 ). Así que no parece funcionar.
@MengCheng Creo que estoy usando una notación diferente. cadena significa σ z = − 1 , y ninguna cadena significa σ z = + 1 . Si creamos una cadena de una placa desde el estado sin cadena, el factor de fase es i 0 = 1 tanto para celosía cuadrada como de panal. En este caso, ¿es correcto el hamiltoniano? ¡Gracias!
@No.9999 Pero si crea un solo bucle, ¡el signo debería cambiar ! --- Esto también le dice que no puede simplemente cambiar su convención por lo que llama "cadena" en el modelo de doble semión. (De hecho, esto es diferente para el Código Tórico).
@NorbertSchuch Creo que aún podemos usar esta convención. Tenga en cuenta que pongo un signo más antes de los términos de la plaqueta, mientras que para el modelo de código tórico generalmente ponemos un signo menos en el mismo lugar. Gracias a su respuesta a continuación, encontré el hamiltoniano correcto al contar el factor de fase de una manera completamente diferente (pero sigo usando mi antigua convención).
Hola @No.9999, estoy interesado en la forma correcta del semión hamiltoniano doble en la red cuadrada. ¿Puedo saber qué es? Gracias.

Respuestas (1)

La propiedad definitoria del modelo de doble semión es la naturaleza del estado fundamental como una superposición del patrón de bucle con signos alternos, y no la forma de su hamiltoniano. Como notó, no está claro cómo contar bucles en una red cuadrada. Por lo que veo, esta es una de las razones por las que los modelos de red de cuerdas se definen en redes de nido de abeja, ya que permite contar bucles sin ambigüedades. (De hecho, cualquier gráfico trivalente serviría).

Si desea definir una forma de contar bucles en una red cuadrada, una forma es "decorarla" de modo que se convierta en una red trivalente, es decir, reemplaza cada vértice tetravalente por dos vértices trivalentes con una arista entre. El estado del borde adicional está determinado únicamente por el estado de los bordes circundantes y, por lo tanto, esto le brinda una forma de contar bucles en la red cuadrada. De la misma manera, puede asignar el hamiltoniano de nido de abeja a un nuevo hamiltoniano en la red cuadrada. Tenga en cuenta, sin embargo, que este mapeo necesariamente romperá alguna simetría de red.

Su hamiltoniano es rotacionalmente invariante, por lo que sospecho que no es el hamiltoniano correcto. No lo analicé con cuidado, pero podría intentar diagonalizarlo exactamente en una red de 4x4 y verificar el subespacio del suelo. Alternativamente, puedes estudiar diferentes movimientos para pasar de una configuración a otra y comprobar si todos dan la misma fase (sospecho que no, y habrá cancelaciones). Para esto, por supuesto, primero debe elegir una convención sobre cómo contar los bucles.

¡Muchas gracias! De hecho, podemos obtener el estado correcto y el hamiltoniano correcto asignando la red de panal a la red cuadrada. El hamiltoniano correcto ya no es rotacionalmente invariante. @Norbert Schuch
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