Modelado de la fricción estática de Coulomb en un sistema multicuerpo

Question

Modelado de la fricción estática de Coulomb en un sistema multicuerpo

Fofo

Tengo un sistema multicuerpo con fricción de Coulomb:

Puedo escribir ecuaciones de conservación de momento lineal horizontal:

$m_1 \ddot{x}_1 = F_1 - F_{f12}$
$m_2 \ddot{x}_2 = F_2 + F_{f12} - F_{f23}$
$m_3 \ddot{x}_3 = F_3 + F_{f23} - F_{f34}$
$m_4 \ddot{x}_4 = F_4 + F_{f34}$

Y también puedo calcular $F_{f12}$ y $F_{f34}$ como a continuación:

$F_{f12}=\left\{\begin{matrix} if \, \dot{x_1}=\dot{x_2} \, and \, \left| F_1-m_1 \ddot{x}_1 \right|<\mu_s F_{n12} \, then & F_1-m_1 \ddot{x}_1 \\ else & \mu_k F_{n12}sgn\left(\dot{x_1}-\dot{x_2}\right) \end{matrix}\right.$
$F_{f34}=\left\{\begin{matrix} if \, \dot{x_3}=\dot{x_4} \, and \, \left| F_4+m_4 \ddot{x}_4 \right|<\mu_s F_{n34} \, then & -F_4-m_4 \ddot{x}_4 \\ else & \mu_k F_{n12}sgn\left(\dot{x_4}-\dot{x_3}\right) \end{matrix}\right.$

Aquí la fricción estática se opone a cualquier fuerza externa hasta la fricción estática máxima.

Tengo dos problemas:

cuando las condiciones para la fricción estática $\dot{x_i}=\dot{x_j} \, and \, \left| F_i-m_i \ddot{x}_i \right|<\mu_s F_{nij}$ son válidas, la ecuación se convierte exactamente en la misma ecuación que los momentos lineales, y termino con menos ecuaciones que mis incógnitas.
no puedo escribir $F_{f23}$ ¡porque las fuerzas opuestas aquí incluyen otras fricciones estáticas y terminamos con dos ecuaciones diferentes!

Por ejemplo si escribimos $F_{f23}$ basado en la masa 3:

$F_{f23}=\left\{\begin{matrix} if \, \dot{x_2}=\dot{x_3} \, and \, \left| F_{f34} -F_3 -m_3 \ddot{x}_3\right|<\mu_s F_{n23} \, then & F_{f34} -F_3 -m_3 \ddot{x}_3 \\ else & \mu_k F_{n23}sgn\left(\dot{x_2}-\dot{x_3}\right) \end{matrix}\right.$

Pero si escribimos $F_{f23}$ en base a la masa 2 obtenemos:

$F_{f23}=\left\{\begin{matrix} if \, \dot{x_2}=\dot{x_3} \, and \, \left| F_2 + F_{f12}-m_2 \ddot{x}_2\right|<\mu_s F_{n23} \, then & F_2 + F_{f12} -m_2 \ddot{x}_2 \\ else & \mu_k F_{n23}sgn\left(\dot{x_2}-\dot{x_3}\right) \end{matrix}\right.$

Y la igualdad de $F_2 + F_{f12}=F_{f34}-F_3$ no es necesariamente válido.

les agradeceria si me pueden ayudar a saber

si mis matemáticas son correctas hasta ahora?
cómo escribir $F_{f23}$ ?

Steven

Las ecuaciones verdaderas para el lado superior e inferior naturalmente deben ser verdaderas al mismo tiempo. Entonces, si no están de acuerdo, entonces no están en lo correcto y debe ser otro de los casos posibles.

Fofo

@Steeven no siga, ¿podría dar más detalles?

Steven

No veo ningún error inmediato en las matemáticas, así que suponiendo que todo se mantenga, ahora tienes una buena igualdad con la que verificar para saber qué situación tienes. Si las fuerzas coinciden, de modo que la igualdad final

F_{2} + F_{F 12} = F_{F 34} - F_{3}

$F_2+F_{f12}=F_{f34}-F_3$ es cierto, entonces sabes que los primeros casos de ambos

F_{f 23}

$F_{f23}$ son verdad. Si no es así, entonces los dos primeros casos no pueden ser verdaderos (solo uno de ellos o tal vez ninguno de ellos).

Fofo

@Steeven Bueno, ya sé que la igualdad no se cumple. esta es una versión simplificada de mi modelo real. He estado tratando de modelar esto en SIMULINK sin éxito, sin embargo, he tenido algunos avances en OpenModelica gracias a la naturaleza no causal del solucionador. este es el único desafío que necesito superar.

johnathan bruto

No creo que hayas configurado la forma de

F_{f 12}

$F_{f12}$ o

F_{f 34}

$F_{f34}$ correctamente. La forma en que están configurados actualmente, tampoco

m_{1}

$m_1$ ni

m_{4}

$m_4$ pueden acelerar en absoluto a menos que estén deslizándose. Pero si

m_{2}

$m_2$ está acelerando, entonces

m_{1}

$m_1$ puede acelerar a la misma velocidad sin tener

F_{f 12} = F_{1}

$F_{f12}=F_1$ .

Fofo

@JohnathanGross tienes toda la razón y ya había pensado en esto. la forma correcta en realidad es:

F_{f 12} = {\begin{matrix} i f \dot{x_{1}} = \dot{x_{2}} a n d | m_{1} \ddot{x_{1}} - F_{1} | < μ_{s} F_{n 12} t h e n & F_{1} - m_{1} \ddot{x_{1}} \\ e l s e & μ_{k} F_{n 12} s g n (\dot{x_{1}} - \dot{x_{2}}) \end{matrix}

$F_{f12}=\left\{\begin{matrix} if \, \dot{x_1}=\dot{x_2} \, and \, \left| m_1\ddot{x_1}- F_1 \right|<\mu_s F_{n12} \, then & F_1- m_1\ddot{x_1} \\ else & \mu_k F_{n12}sgn\left(\dot{x_1}-\dot{x_2}\right) \end{matrix}\right.$ ¡pero el problema es que la fricción estática produce la misma ecuación que la conservación de los momentos lineales y termino con menos ecuaciones que las incógnitas! ¡Yo tampoco sé cómo resolver esto!

auden joven

¡Bienvenido a Physics Stack Exchange y muchas gracias por escribir tus matemáticas con mathjax!

Fofo

@heather Yo soy el que debería estar agradecido por recibir esta función. Ojalá tuviéramos esto en todos los demás foros de SO.

johnathan bruto

Desafortunadamente, no hay otra forma de determinar la fricción estática, excepto que pase lo que pase para equilibrar la segunda ley de Newton.

Fofo

@JohnathanGross Agregaré esto a la pregunta. pero me temo que lo hace más complicado. Gracias por mencionarlo.

johnathan bruto

Tenga en cuenta que esto se aplica a

F_{f 23}

$F_{f23}$ también.

F_{f 23} = F_{2} + F_{f 12} - m_{2} \ddot{x_{2}} = F_{f 34} - F_{3} + m_{3} \ddot{x_{3}}

$F_{f23}=F_2+F_{f12}-m_2\ddot{x_2}=F_{f34}-F_3+m_3\ddot{x_3}$ .

johnathan bruto

Sin embargo, hay algo de esperanza. La condición

\dot{x_{1}} = \dot{x_{2}}

$\dot{x_1}=\dot{x_2}$ efectivo

\ddot{x_{1}} = \ddot{x_{2}}

$\ddot{x_1}=\ddot{x_2}$ . Esto simplifica sus ecuaciones acopladas de segundo orden en ecuaciones acopladas de primer orden.

Fofo

@JohnathanGross Edité la publicación y solucioné este error, pero para su último comentario: no realmente. el hecho de que

\dot{x_{i}} = \dot{x_{j}}

$\dot{x_i}=\dot{x_j}$ en una instancia no significa

\ddot{x_{i}} = \ddot{x_{j}}

$\ddot{x_i}=\ddot{x_j}$ ¡en ese momento!

Fofo

Creo que he resuelto el problema. ¿Podrían echar un vistazo a mi respuesta y ver si es correcta?

Respuestas (1)

Modelado de la fricción estática de Coulomb en un sistema multicuerpo

Las ecuaciones verdaderas para el lado superior e inferior naturalmente deben ser verdaderas al mismo tiempo. Entonces, si no están de acuerdo, entonces no están en lo correcto y debe ser otro de los casos posibles.
No veo ningún error inmediato en las matemáticas, así que suponiendo que todo se mantenga, ahora tienes una buena igualdad con la que verificar para saber qué situación tienes. Si las fuerzas coinciden, de modo que la igualdad final $F_{2} + F_{F 12} = F_{F 34} - F_{3}$ $F_2+F_{f12}=F_{f34}-F_3$ es cierto, entonces sabes que los primeros casos de ambos $F_{f23}$ son verdad. Si no es así, entonces los dos primeros casos no pueden ser verdaderos (solo uno de ellos o tal vez ninguno de ellos).
@Steeven Bueno, ya sé que la igualdad no se cumple. esta es una versión simplificada de mi modelo real. He estado tratando de modelar esto en SIMULINK sin éxito, sin embargo, he tenido algunos avances en OpenModelica gracias a la naturaleza no causal del solucionador. este es el único desafío que necesito superar.
No creo que hayas configurado la forma de $F_{f12}$ o $F_{f34}$ correctamente. La forma en que están configurados actualmente, tampoco $m_1$ ni $m_4$ pueden acelerar en absoluto a menos que estén deslizándose. Pero si $m_2$ está acelerando, entonces $m_1$ puede acelerar a la misma velocidad sin tener $F_{f12}=F_1$ .
@JohnathanGross tienes toda la razón y ya había pensado en esto. la forma correcta en realidad es: $F_{f12}=\left\{\begin{matrix} if \, \dot{x_1}=\dot{x_2} \, and \, \left| m_1\ddot{x_1}- F_1 \right|<\mu_s F_{n12} \, then & F_1- m_1\ddot{x_1} \\ else & \mu_k F_{n12}sgn\left(\dot{x_1}-\dot{x_2}\right) \end{matrix}\right.$ ¡pero el problema es que la fricción estática produce la misma ecuación que la conservación de los momentos lineales y termino con menos ecuaciones que las incógnitas! ¡Yo tampoco sé cómo resolver esto!
¡Bienvenido a Physics Stack Exchange y muchas gracias por escribir tus matemáticas con mathjax!
@heather Yo soy el que debería estar agradecido por recibir esta función. Ojalá tuviéramos esto en todos los demás foros de SO.
Desafortunadamente, no hay otra forma de determinar la fricción estática, excepto que pase lo que pase para equilibrar la segunda ley de Newton.
@JohnathanGross Agregaré esto a la pregunta. pero me temo que lo hace más complicado. Gracias por mencionarlo.
Tenga en cuenta que esto se aplica a $F_{f23}$ también. $F_{f23}=F_2+F_{f12}-m_2\ddot{x_2}=F_{f34}-F_3+m_3\ddot{x_3}$ .
Sin embargo, hay algo de esperanza. La condición $\dot{x_1}=\dot{x_2}$ efectivo $\ddot{x_1}=\ddot{x_2}$ . Esto simplifica sus ecuaciones acopladas de segundo orden en ecuaciones acopladas de primer orden.
@JohnathanGross Edité la publicación y solucioné este error, pero para su último comentario: no realmente. el hecho de que $\dot{x_i}=\dot{x_j}$ en una instancia no significa $\ddot{x_i}=\ddot{x_j}$ ¡en ese momento!
Creo que he resuelto el problema. ¿Podrían echar un vistazo a mi respuesta y ver si es correcta?

Fofo · Answer 1

Nuevo:

Desde que publiqué esta pregunta, pude reescribir las ecuaciones de una manera más elegante. En realidad, independientemente de ser un problema de múltiples cuerpos, la fricción entre cada cuerpo individual es la misma y otras fuerzas de fricción son solo fuerzas. La fricción estática trata de mantener dos cuerpos como uno en la medida de lo posible. significa para un problema de dos cuerpos:

$m_1 \ddot{x}_1 = F_1 - F_{f12}$
$m_2 \ddot{x}_2 = F_2 + F_{f12}$
$\ddot{x}_1=\ddot{x}_2$
$\implies \, F_{s12}=\frac{m_2 F_1-m_1F_2}{m_1+m_2}$

considerando que la fricción estática máxima es $F_{s_{max}12}=\mu_s F_{n12}$

$\implies F_{f12}=\left\{\begin{matrix} if \, \dot{x_1}=\dot{x_2} \, and \, \left| F_{s12} \right|<F_{s_{max}12} \,\, then & F_{s12} \\ else & \mu_k F_{n12}sgn\left(\dot{x_1}-\dot{x_2}\right) \end{matrix}\right.$

También lo he implementado en lenguaje Modelica y SIMULINK. Puedes verlos aquí y aquí.

Viejo:

Creo que he resuelto el problema. Gracias a las preguntas hechas en los comentarios tuve que reescribir algunas de las ecuaciones y luego se me reveló el principal malentendido. En realidad, cuando se dan las condiciones para las fricciones estáticas, las dos partes actúan como una sola. podemos escribir las 3 fricciones de la siguiente manera:

Si $\dot{x_1}=\dot{x_2}$ y $\left| F_1-m_1 \ddot{x}_1 \right|<\mu_s F_{n12}$ y $\left| m_2 \ddot{x}_2-F_2+F_{f23} \right|<\mu_s F_{n12}$ entonces $\ddot{x}_1=\ddot{x}_2$ , demás $F_{f12}=\mu_k F_{n12}sgn\left(\dot{x_1}-\dot{x_2}\right)$
Si $\dot{x_3}=\dot{x_4}$ y $\left| F_4-m_4 \ddot{x}_4 \right|<\mu_s F_{n34}$ y $\left| F_3 + F_{f23}-m_3 \ddot{x}_3 \right|<\mu_s F_{n34}$ entonces $\ddot{x}_3=\ddot{x}_4$ , demás $F_{f34}=\mu_k F_{n34}sgn\left(\dot{x_4}-\dot{x_3}\right)$
Si $\dot{x_2}=\dot{x_3}$ y $\left| F_2 + F_{f12}-m_2 \ddot{x}_2\right|<\mu_s F_{n23}$ y $\left| F_{f34} -F_3 -m_3 \ddot{x}_3\right|<\mu_s F_{n23}$ entonces $\ddot{x}_3=\ddot{x}_2$ , demás $F_{f23}=\mu_k F_{n23}sgn\left(\dot{x_2}-\dot{x_3}\right)$

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