Misa colgando del resorte en caída libre

A pesar de la extraña geometría del problema, se trata simplemente de dos masas conectadas por un resorte, y podemos resolver ese problema usando la Mecánica Lagrangiana. Supongamos que las masas tienen masa.$M$y m, y coordenadas de posición$x_M$y$x_m$respectivamente. También están separados por una distancia.$d$, y la constante del resorte es$k$.

Usaremos$\alpha$como la coordenada generalizada que representa cuánto se han estirado las masas desde el equilibrio:

$$\alpha = x_M - x_m - d$$

Tenga en cuenta también que

$$\dot{\alpha} = \dot{x}_M - \dot{x}_m,$$ porque$d$es una constante, y podemos elegir un marco en el que la cantidad de movimiento total del sistema sea cero, lo que nos da $$m \dot{x}_m = -M \dot{x}_M$$

Podemos escribir la energía cinética como

$$T = \frac{1}{2} m \dot{x}_m^2 + \frac{1}{2} M \dot{x}_M^2,$$ y luego transformar a nuestra coordenada generalizada$\alpha$utilizando las dos ecuaciones anteriores: $$T = \frac{1}{2} m \dot{x}_m^2 + \frac{1}{2} M \Big(\dot{x}_m \frac{m}{M}\Big)^2$$ $$T = \frac{1}{2} m \Big( -\dot{\alpha} \frac{M}{m+M}\Big)^2 + \frac{1}{2} M \Big( \Big( -\dot{\alpha} \frac{M}{m+M}\Big) \frac{m}{M}\Big)^2$$ $$T= \frac{1}{2} \frac{m M^2}{(m+M)^2} \dot{\alpha}^2+ \frac{1}{2} \frac{m^2 M}{(m+M)^2}\dot{\alpha}^2$$ $$T= \frac{1}{2} \frac{m M}{m+M} \dot{\alpha}^2$$ $$T= \frac{1}{2} \mu \dot{\alpha}^2,$$ dónde$\mu$es la masa reducida.

La energía potencial es mucho más fácil de encontrar:

$$U = \frac{1}{2} k \alpha^2.$$ Nuestro Lagrangiano entonces es $$L = T-U$$ $$L = \frac{1}{2}\mu \dot{\alpha}^2 - \frac{1}{2} k \alpha^2,$$ que se puede sustituir en la ecuación de Euler-Lagrange

$$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} - \frac{\partial L}{\partial \alpha}=0.$$

Esta ecuación es fácil de resolver a mano:

$$\mu \ddot{\alpha}+k \alpha = 0.$$

Esta es claramente la ecuación para un oscilador armónico simple con frecuencia angular$\sqrt{k/\mu}$, que es la respuesta que estabas buscando!

Una masa cuelga de un resorte del techo de una caja bajo la acción de la gravedad, y el sistema masa-resorte oscila verticalmente con frecuencia angular w.

Luego, la caja se deja caer y cae libremente mientras la masa se mueve hacia abajo.

La cuerda se estira hasta que la caja y la masa viajan a la misma velocidad. Luego, el resorte tira de la masa y la caja una hacia la otra. No hay fuerza para separarlos hasta que chocan entre sí, y el problema no dice qué tan elástica es su colisión.

Entonces, el problema no brinda la información necesaria para saber si continuarán oscilando o cuál será la frecuencia, de ser así.