Matemáticas de la resistencia del aire simplificada.

Recientemente me encontré con un problema en el que al lanzar una pelota hacia arriba hay que determinar si sube o baja más rápido cuando no solo se tenía en cuenta la gravedad, sino también la resistencia del aire con una aceleración de$mkv$dónde$k$es solo una constante,$m$es la masa y$v$es la velocidad. Como no hay componente horizontal, es un problema unidimensional descrito por la ecuación diferencial:

$$\frac{dv}{dt} = -g - mkv$$ Ahora, como parte del problema, la solución tenía que encontrarse numéricamente para un ejemplo particular que es realmente bastante trivial, así que decidí intentar una prueba para todos los valores encontrando una solución analíticamente. Esto no es para obtener puntos adicionales ni nada que ver con la evaluación, sino solo un poco de diversión. Así que resolví la ecuación de la velocidad: $$\frac{dv}{dt} = -g - mkv$$ $$\frac{\frac{dv}{dt}}{-g-mkv} = 1$$ $$\int{\frac{1}{-g-mkv}dv}=\int{1 dt}$$ $$-\frac{1}{mk}\int{\frac{mk}{mkv + g}dv} = t + C_1$$ $$\int{\frac{mk}{mkv + g}dv} = -mkt - mkC_1$$ $$\ln{mkv + g} + C_2 = - mkt - mkC_1$$ $$\ln{mkv + g} = - mkt - mkC_1 - C_2$$ $$mkv + g = e^{- mkt - mkC_1 - C_2}$$ $$v = \frac{e^{- mkt - mkC_1 - C_2} - g}{mk}$$ $$v = e^{-mkt} \times \frac{e^{-mkC_1-C_1}}{mk} - \frac{g}{mk}$$ $$v=\lambda e^{-mkt} - \frac{g}{mk}$$ Encontrar $\lambda$en términos de velocidad inicial podemos sustituir en $v_0$y $t = 0$: $$v_0 = \lambda e^{-mk\times0} - \frac{g}{mk}$$ $$\lambda = v_0 + \frac{g}{mk}$$ $$\therefore v = v_0e^{-mkt} + \frac{(e^{-mkt}-1)g}{mk}$$ Luego integré para encontrar el desplazamiento: $$r = \int{v dt}$$ $$r = \int{(v_0e^{-mkt} + \frac{(e^{-mkt}-1)g}{mk})dt}$$ $$r = -\frac{v_0}{mk}e^{-mkt} - \frac{e^{-mkt}g}{m^2k^2} - \frac{g}{mk}t + C$$ $$r = -\frac{v_0}{mk}e^{-mkt} - \frac{(e^{-mkt} + mkt)g}{m^2k^2} + C$$ Encontrar $C$en términos de desplazamiento inicial podemos sustituir en $r_0$y $t = 0$: $$r_0 = -\frac{v_0}{mk}e^{-mk\times0} - \frac{(e^{-mk\times0} + mk\times0)g}{m^2k^2} + C$$ $$r_0 = -\frac{v_0}{mk} - \frac{g}{m^2k^2} + C$$ $$C = r_0 + \frac{v_0}{mk} + \frac{g}{m^2k^2}$$ Entonces, $$r = -\frac{v_0}{mk}e^{-mkt} - \frac{(e^{-mkt} + mkt)g}{m^2k^2} + r_0 + \frac{v_0}{mk} + \frac{g}{m^2k^2}$$ $$r = (1-e^{-mkt})\frac{v_0}{mk} - \frac{(e^{-mkt} + mkt - 1)g}{m^2k^2} + r_0$$ $$r = (1 - (e^{-mkt} + mkt))\frac{g}{m^2k^2} + (1-e^{-mkt})\frac{v_0}{mk} + r_0$$ Luego intenté encontrar las raíces para ambas ecuaciones y descubrí que, si bien esto es posible para la velocidad, el desplazamiento era imposible de resolver analíticamente y cuando lo puse en wolframio alfa, volvió con la 'función de registro del producto' que de mi investigación ciertamente limitada parece ser numérico. Entonces, mi pregunta es:

¿Es posible una prueba analítica de que una pelota tarda más en bajar después de que sube en la resistencia del aire según las condiciones dadas por la pregunta?