Más ligero que el puente aéreo II: góndolas atadas

Un cable autosoportado de densidad constante forma una curva conocida como catenaria , que se aproxima a una parábola. (De hecho, se forma una parábola cuando el peso se distribuye uniformemente horizontalmente como un puente colgante, en lugar de distribuirse uniformemente a lo largo del cable).

No entraré en toda la mecánica, pero hay dos ecuaciones importantes que necesitamos. En primer lugar, la forma de la catenaria se describe mediante:

$$y=a\left[\cosh\left(\frac x a\right)-1\right]$$

Dónde$a$es una longitud característica. Podemos describir la tensión$T$en el cable como:

$$T=\lambda ga\cosh\left(\frac x a\right)=\lambda g(y+a)$$

Dónde$\lambda$es la masa del cable por unidad de longitud, y$g$es la aceleración gravitacional.

Todo lo que necesitamos saber es qué tan ancho es el tramo y cuánto se hunde el cable. En el mejor de los casos, se permitirá que el cable se combe hasta el fondo del cañón; podemos usar esto como un límite inferior en la resistencia del material requerida.

Asumiendo que$y=800~\text{m}$y$x=2.5~\text{km}$(e implícitamente$g=9.8~\text{m}/\text{s}^2$), obtenemos:

$$a = 4.03~\text{km} \\ \frac T \lambda = 47\,400~\text{m}^2/\text{s}^2=47.4~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg}$$

El radio$T/\lambda$es la fuerza específica requerida de nuestro material de puente (usaré el símbolo$\varsigma$para denotarlo). Al principio esto se ve bastante bien, ya que el acero tiene una resistencia de alrededor$250~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg}$. Sin embargo, esto no tiene en cuenta todo el puente, solo los cables.

Podemos calcular la fracción de carga útil$\zeta$(la fracción del peso de nuestro puente que no es cable) con esta fórmula:

$$\zeta = 1-\text{SF}\times\frac{\varsigma_\text{requirement}}{\varsigma_\text{material}}$$

Nota$\text{SF}$, el factor de seguridad . Asegura que tengamos algo de margen, para que no nos deshagamos al menor toque. Según una investigación rápida, los factores de seguridad reales típicos para los puentes son de alrededor de 4, pero usaré un SF de diseño de 5. Por lo tanto, la fracción de carga útil máxima para los cables de acero sobre este cañón es

$$\zeta = 1-5\times\frac{47~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg}}{250~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg}}=6.3\%$$

Esto significa que casi todo el peso del puente tendrá que dedicarse a los cables de soporte.

Trazar la forma del puente revela otro problema: la pendiente en los extremos es bastante empinada.

Suponiendo un valor más "razonable" para el hundimiento de$125~\text{m}$(obtenido limitando el grado en los extremos al 10%) nos da una forma como esta:

Lo que probablemente se parezca más a lo que tenías en mente. Sin embargo, para levantar el puente tenemos que aumentar la tensión. Los números que obtenemos ahora son:

$$a = 25~\text{km} \\ \varsigma = 247~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg} \\ \zeta_\text{steel} < 0$$

La fuerza requerida es casi la fuerza límite de un cable de acero. Si bien un cable de acero podría sostenerse por sí mismo, apenas lo haría. Cualquier muesca en el cable, o una fuerte ráfaga de viento, y se rompería.

Sin embargo, Kevlar tiene 10 veces la relación resistencia-peso del acero, y no es un material inverosímil de usar: es un polímero hecho por el hombre, y los procesos de producción comunes pueden hilar hilos de longitud ilimitada. Puede tender el cable de la misma manera que lo hizo con los cables de acero del puente Golden Gate, pero girando los hilos de Kevlar a medida que avanza.

$$\varsigma_\text{Kevlar} = 2514~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg} \\ \zeta_\text{Kevlar} = 51\%$$

Con un factor de seguridad conservador, el peso total del puente, los automóviles y los pasajeros/carga no debe ser mayor que el de los propios cables. Sugeriría una capa compuesta delgada, aerodinámica y flexible que rodee los cables y los vagones de tranvía para mantener bajas las cargas vivas del viento y para mantener los cables espaciados correctamente. No podría tener una plataforma dura y rígida como los puentes modernos, así que piense en ello como un puente de cuerda de alta tecnología.

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En cuanto a los globos, supongo que son esencialmente como dirigibles modernos, pero atados al puente para que simplemente puedan arrastrarse. Aunque esto es más eficiente energéticamente, no será mucho más rápido ya que no desea cargar demasiado el puente. Además, aún tendrá que dar a los globos capacidad de maniobra para evitarse cuando pasan en direcciones opuestas (o construir dos puentes paralelos separados por un par de cientos de metros). A menos que necesite un gran volumen o alta velocidad, el puente realmente no agregará mucho a los globos que operan por sí mismos como transbordadores aéreos.

Entonces, sí, tal puente es posible, siempre que pueda usar materiales avanzados (¡y tenga cuidado de evitar el aleteo aeroelástico !).