Luz que golpea una lente GRIN (índice de gradiente) en el ángulo óptico

En un medio con índice de refracción variable$n(x,y)$las ecuaciones diferenciales para el punto de la curva del rayo$(x,y)$son los siguientes ¹ :

donde el parámetro$s$es el camino a lo largo del rayo.

Si tomamos el índice de refracción para variar a lo largo$y$pero permanece constante a lo largo$x$, p.ej

y luego tratamos de sustituir lo que creemos que es la solución por$y$-coordenada del rayo,

encontraremos que la segunda ecuación dice

En otras palabras, esta solución solo es válida para vacío, no para ningún material de índice lineal. Se obtendrán resultados similares para el perfil cuadrático del índice de refracción. Por lo tanto, el rayo debe curvarse, no propagarse en línea recta.

Si intentas en su lugar$n(x,y)$constante por partes en$y$, encontrará que los rayos sí pueden propagarse a lo largo de las tiras de índice constante, por lo que esto no contradice la ley de Snell. Es solo que la ley de Snell no funciona en el límite, y en el límite del perfil de índice de refracción suave, todos los puntos serán límites.

Referencias

1: Kevin Brown, "Reflexiones sobre la relatividad" , §8.4 "Refracciones sobre la relatividad" . La derivación relevante se cita en mi respuesta a ¿ Cómo calcular la trayectoria de la luz refractada cuando el índice de refracción aumenta continuamente?

Para empezar, considere que las ecuaciones de Maxwell son para las divergencias y rotaciones de los campos. Estas cantidades no son estrictamente locales en el sentido de que son sensibles a lo que hacen los campos cercanos, porque son derivadas en el espacio. Con esto en mente, tal vez sea un poco más intuitivo por qué los rayos pueden desviarse, aunque inicialmente viajen perpendiculares al gradiente.

Las ondas de luz viajan en una dirección perpendicular al frente de onda. Cuando una onda plana incide en la cara izquierda de la lente GRIN en el diagrama que proporcionó, la velocidad de propagación del frente de onda aumenta con la distancia radial desde el eje de la lente. Como resultado, el frente de onda se deforma en un frente de onda esférico cóncavo, lo mismo que sucede con una lente ordinaria. El frente de onda esférico converge en un foco porque se propaga en dirección perpendicular, hacia el centro de curvatura del frente de onda.