Lógica clásica en relación con Matemáticas QM

La formulación más elemental de la Mecánica Cuántica (la que suele formularse en los espacios de Hilbert) se puede construir a partir de un entramado de todas las proposiciones elementales que se pueden contrastar sobre un sistema cuántico dado obteniendo como resultado SÍ o NO.

Esto se puede hacer de manera similar para la mecánica clásica y, en ese caso, las proposiciones elementales se describen mediante una clase de conjuntos en el espacio de fases del sistema físico, una proposición elemental$P$es verdadero (SÍ) si el estado del sistema pertenece a$P$en el tiempo considerado. Esa clase de conjuntos/proposiciones tiene que cerrarse bajo la acción de operadores lógicos/operaciones de conjuntos. Por ejemplo$P$Y$Q$corresponde a$P \cap Q$, y así sucesivamente... Un estado del sistema es, de hecho, un mapa que asocia cada proposición elemental a un número en$\{0,1\}$, dónde$0$significa NO y$1$significa si. Si, en cambio, todo el conjunto de resultados$[0,1]$es permisible, el estado es probabilístico, es la probabilidad de que una proposición elemental sea verdadera (este es el estándar, por ejemplo, cuando se trata de mecánica estadística). El hecho de que un estado sea una medida de probabilidad (una medida de Dirac para estados nítidos) obliga a la clase de subconjuntos que describen proposiciones a ser un$\sigma$-álgebra , que es una noción un poco más complicada que un álgebra booleana .

En mecánica cuántica se podría intentar adoptar un punto de vista similar, destacando las proposiciones elementales SÍ-NO desde cero al describir un sistema cuántico. La cuestión es que hay pares de proposiciones elementales que no se pueden unir mediante conectivos: Son las famosas proposiciones incompatibles . Aquí está un ejemplo típico.$P=$"la partícula tiene impulso$p$" y$Q=$"la partícula tiene posición$q$". No hay nada como P Y Q en la Naturaleza. Ningún experimento físico puede asociar un valor SÍ/NO a$P$Y$Q$. Los físicos dicen que$P$y$Q$son incompatibles . ¡Aquí no se puede utilizar una estructura booleana!

Sin embargo, la situación no es tan desesperada como puede parecer a primera vista, porque existen estructuras matemáticas (redes no booleanas) capaces de captar y describir la física de las proposiciones elementales de un sistema mecánico cuántico. De hecho, estas estructuras son isomorfas a las redes de los proyectores ortogonales de los espacios de Hilbert. Los estados se pueden definir de manera similar al caso clásico, medidas de probabilidad (generalizadas), y resultan estar asociados a los vectores normalizados de los mencionados espacios de Hilbert (me refiero aquí únicamente a los llamados estados puros ).

El punto es que estas estructuras matemáticas, retículas no booleanas, encarnan operaciones que simplemente se asemejan a los conectores clásicos AND, OR, NOT,$\Rightarrow$etcétera. Son generalizaciones de las correspondientes clásicas y se reducen a ellas cuando se trata de conjuntos de proposiciones compatibles por pares.

Aquí surge una doble posibilidad. Uno puede ignorar este hecho y explotarlo como una oportunidad meramente técnica. Alternativamente, se puede suponer que estos pseudoconectivos son los conectivos del mundo cuántico que, en ese sentido preciso (conectivos con diferentes propiedades), satisfacen una lógica diferente a la clásica. Esta fue la idea de von Neumann y Birkhoff, quienes iniciaron la primera investigación de ese mundo matemático. Hoy en día, la lógica cuántica es un (amplio) campo de investigación más propio de lógicos que de físicos. Quiero decir, por varias razones, incluso de naturaleza práctica, von Neumann y Birkhoff no pudieron convencer a los físicos de que abandonaran la lógica clásica en favor de (alguna) versión cuántica.

En cualquier caso, no hay problemas en el manejo de la lógica cuántica, porque no es más que un procedimiento formal para construir enunciados cuando se dan enunciados iniciales. A este respecto, no es diferente de cualquier otra teoría formalizada matemáticamente. Podemos manejar la lógica cuántica usando la lógica intuitiva exactamente como podemos manejar alguna formalización de la lógica clásica usando la lógica intuitiva.

Las primeras líneas de la entrada de Wikipedia Lógica cuántica dan una impresión. Para abreviar, la esencia del ejemplo es esta: tienes una partícula manchada en una caja de longitud$d$. si te separas$d$en dos partes,$d_\text{Left}$y$d_\text{Right}$, entonces "la partícula está en la unión de$d_\text{Left}$y$d_\text{Right}$" es verdadero por definición, mientras que "la partícula está en$d_\text{Left}$o en$d_\text{Right}$" es clásicamente equivalente pero no sensible en la física cuántica.

Entonces vemos aspectos de la mecánica cuántica que no se pueden expresar directamente usando las reglas proposicionales de la lógica clásica: el lenguaje no es adecuado para hablar de ello de inmediato. Consulte Nonfirstorderizability para ver un ejemplo completamente diferente de dónde el lenguaje que le gustaría usar no lo logra: "Algunos críticos solo se admiran unos a otros".

Entonces, si bien existe la posibilidad de hacer una lógica cuántica que capture con precisión el sistema QM directamente, no es necesario. Por lo general, se piensa que las matemáticas tienen lugar en la lógica clásica, muy a menudo extendida con axiomas sobre conjuntos (aunque a la mayoría de las personas no les importa), solo porque es suficiente. Por ejemplo, como el conjunto$\{c,b,a,b\}$es por definición lo mismo que el conjunto$\{a,b,c\}$, esto no es tan adecuado para hablar de listas de cosas. Pero la gente luego continúa y define el par.$(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$y definir el triple$(x,y,z):=(x,(x,z))$y ahora tienen una noción de lista dentro de la teoría de conjuntos (nunca hables de la cosa fea real "$\{\{x\},\{x,\{\{y\},\{y,z\}\}\}\}$" abajo a nivel de hardware). Para lo que quiera decir sobre partículas en cajas, es posible que desee (o tenga que) usar el marco más cargado de valores esperados para distribuciones de probabilidad y demás ... Esta es una teoría escrita completamente clásica. En cualquier caso, puedes escribir la mecánica cuántica en el lenguaje formal de la mecánica clásica y luego comenzar a razonar sobre ella -formal o informalmente- usando la lógica cuántica. Es una herramienta, en cualquier estado que quieras aplicarla.

Pero también es digno de mención que la lógica cuántica no es el único lenguaje lógico no clásico con el que las personas intentan acercarse a la mecánica cuántica. Por cierto, si dice "si las matemáticas obedecen a la lógica clásica", entonces expresa que es un platónico de algún tipo o reduce deliberadamente el alcance de las matemáticas. Las lógicas no clásicas se están volviendo más populares, diría yo. Permítanme vincular también mi respuesta favorita en la red StackExchange: ¿ Es la lógica de primer orden la única lógica fundamental? . Y ver también esta pregunta.