Líneas de transmisión y transferencia de energía.

Estoy tratando de entender la transferencia de energía en las líneas de transmisión.

Considere una fuente de voltaje con voltaje complejo V t e impedancia interna Z t . Supongamos que lo conectamos a una línea de transmisión con impedancia compleja Z 0 = R + j ω L GRAMO + j ω C , dónde R y L son la resistencia y la inductancia en serie por unidad de longitud y GRAMO y C son la conductancia en derivación y la capacitancia por unidad de longitud, respectivamente. Tenga en cuenta que no asumimos Z 0 ser puramente real, ya que incluimos pérdidas potenciales en la línea. En el otro extremo, a la distancia d , conectamos una carga con impedancia Z L . Nuestro objetivo es maximizar la potencia activa generada en la carga.

1) Por un lado, sé que tomando Z L = Z 0 hace que el coeficiente de reflexión ρ = Z L − Z 0 Z L + Z 0 igual a cero y el coeficiente de transmisión τ = 2 Z L Z L + Z 0 máximo, τ = 2 .

2) Por otra parte, por transformación de impedancia la impedancia vista por la fuente de tensión en los terminales de la transmisión viene dada por Z i norte = Z 0 Z L + Z 0 bronceado ⁡ ( γ d ) Z 0 + Z L bronceado ⁡ ( γ d ) . Aquí γ = ( R + j ω L ) ( GRAMO + j ω C ) . Uno podría entonces pensar que deberíamos tomar Z i norte = Z t ∗ (conjugado), como lo hacemos normalmente para la máxima transferencia de potencia.

¿Cuál de estos tiene razón? En un conjunto de notas de conferencias que estoy usando, parecen reclamar ambos (?). Por un lado, afirman en el texto que 1) tiene razón, ya que minimiza los reflejos. Por otro lado, en un ejercicio, afirman que 2) tiene razón.

Por cierto, ¿hay alguna forma de escribir bien las fórmulas matemáticas aquí?

EDITAR Con respecto al comentario de Janka:

el voltaje es V ( d ) = A 0 + mi − γ d + A 0 − mi γ d .

la corriente es I ( d ) = 1 Z 0 ( A 0 + mi − γ d − A 0 − mi γ d )

Aquí A 0 + y A 0 − denote la amplitud de la onda hacia adelante y hacia atrás, respectivamente.

Debemos tener Z L = V ( d ) / I ( d ) . Entonces encontramos A 0 − = Z L − Z 0 Z L + Z 0 A 0 + mi − 2 γ d . Si Z L = Z 0 , obtenemos A 0 − = 0 .

(En el editor de preguntas, haga clic en el signo de interrogación en la barra superior derecha, luego en "ayuda avanzada" y encontrará toda la información sobre composición matemática)
Si su línea de transmisión tiene pérdidas, los reflejos se atenuarán, por lo que no puede simplemente asumir 1).
@Janka ¿Podría dar más detalles? ¿Quiere decir que la condición 1) no es correcta para la transferencia de potencia máxima? ¿Sería la condición correcta si la línea no tuviera pérdidas?
Para una línea de transmisión con pérdidas, Z L = Z 0 es válido solo si ves Z L como la impedancia combinada de carga y línea.
@Janka ¿Por qué? Por favor, vea mi edición.
No importa, me confundí cuando nombraste la línea de transmisión como la impedancia de la fuente. Z 0 . Pero esto también debería ser la fuente de su confusión. En 1), la vista es la de la carga, mientras que en 2), la vista es la de una fuente de tensión sin impedancia interna.
@Janka Me temo que no entiendo lo que quieres decir. En 2), si trato la longitud d como dada, estoy diciendo que debemos elegir Z_L para que Z_in = Z_t^*, donde Z_t es la impedancia interna de la fuente de voltaje. En general, esto debe ser muy diferente a tomar Z_L=Z_0.

Respuestas (1)

Respuesta corta

El teorema de transferencia de potencia máxima le dice cómo maximizar la potencia entregada a la carga dada una impedancia de fuente. En tu escenario la carga sería línea de transmisión + Z L = Z i norte que puede ser igual Z t ∗ independientemente del valor de τ es. pero para minimizar la potencia disipada por la línea de transmisión con pérdidas (o maximizar la disipada por la carga), también debe hacer coincidir estas impedancias para que no se refleje la onda.

Respuesta larga

Permítanme considerar primero el caso de la línea de transmisión sin pérdidas. esto es

r mi a yo   Z 0 , Z i norte = Z L + Z 0 j t a norte ( β d ) Z 0 + Z L j t a norte ( β d )
Dado que la línea no tiene pérdidas, toda la potencia que ingresa a ella será disipada por la carga al final, por lo que para maximizar esta potencia que ingresa a la línea de transmisión usamos el teorema de transferencia de máxima potencia, que establece que, dado un interno impedancia de una fuente de voltaje, para maximizar la transferencia de potencia, la impedancia vista por el sistema (fuente de voltaje + impedancia interna) debe ser igual a la impedancia interna de la fuente, esto significa
Z i norte = Z t
Dada una carga Z L hay dos escenarios en los que esto se logra:

  1. Encontrar una combinación de Z_0 y d eso termina con Z i norte = Z t al otro lado de la línea de transmisión (un ejemplo de esto sería el transformador de impedancia de cuarto de onda)
  2. eligiendo Z 0 = Z L = Z t

Ambos garantizarán la máxima transferencia de potencia para una línea de transmisión sin pérdidas. tenga en cuenta que en el primer caso, no obtendrá τ = 1 , habrá reflexión en la interfaz de línea/carga.

Dicho esto, ahora podemos abordar el problema de una línea de transmisión con pérdidas como la que describiste. El problema sigue siendo esencialmente el mismo, la única forma de extraer la máxima potencia de la fuente es obteniendo Z i norte = Z t ∗ como antes, por lo que ambos escenarios parecen ser iguales. Sin embargo, ahora no es cierto que toda esta potencia será disipada en su totalidad por la carga, hay que tener en cuenta las pérdidas de la línea de transmisión. Para minimizar estas pérdidas, hay que eliminar la onda reflejada. Así que el segundo escenario sería óptimo.

Z 0 = Z L = Z t ∗
.

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